- Qual è la probabilità di ricevere un segnale corretto?
- Avendo ricevuto un segnale corretto, qual è la probabilità che esso sia stato trasmesso dal canale B?
1) Il primo punto del problema può essere risolto facendo riferimento alla probabilità condizionale; se chiamiamo con C l’evento "il segnale è ricevuto correttamente", con A l’evento "il messaggio proviene dal canale A" e con B l’evento "il messaggio proviene dal canale B". Il verificarsi dell’evento C dipende dal tipo di canale da cui proviene il segnale: se il segnale proviene dal canale A, allora la probabilità che esso sia corretto è 1:
[math]P(C|A) = 1[/math]
Se il segnale proviene dal canale B, invece, sappiamo dal testo che la probabilità che esso sia corretto è di
[math]\frac{3}{4}[/math]
, quindi si ha:
[math]P(C|B) = \frac{3}{4}[/math]
La probabilità del verificarsi dell’evento C è data quindi dalla seguente formula delle probabilità condizionali:
[math] P(C) = P(C|A) \cdot P(A) + P(C|B) \cdot P(B) = 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8} [/math]
2) Ipotizziamo ora che il segnale ricevuto sia corretto, ovvero che l’evento C sia verificato; la probabilità che dobbiamo calcolare è
[math] P(B|C)[/math]
. Per risolvere tale punto possiamo ricorrere alla formula di Bayes, dalla quale sappiamo che:
[math] P(B|C) = \frac{P(C|B) \cdot P(B)}{P(C)} [/math]
Sostituendo i valori numerici trovati precedentemente abbiamo:
[math] P(B|C) = \frac{ P(C|B) \cdot P(B) }{ P(C) } = \frac{ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} }{ \frac{7}{8} } = \frac{ \frac{3}{8} } { \frac{7}{8} } = \frac{3}{7} [/math]
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