Funzioni – Concetti generali

Le funzioni

Prima di parlare di funzione, è bene riferirsi al concetto di relazione, procedimento che permette di associare a un elemento di un insieme di partenza uno più elementi di quello di arrivo.
Ad esempio, questa rappresentazione riflette l’associazione di una città con la relativa regione di appartenenza, con A e B rispettivamente insiemi di partenza e arrivo [foto 1, in allegato] .

Una funzione, invece, è una particolare tipologia di relazione in cui ad ogni elemento dell’insieme di partenza è associato uno e un solo elemento di quello di arrivo.
Nell’esempio precedente si può ritrovare una funzione, in quanto tutti gli elementi dell’insieme A sono associati a un solo elemento dell’insieme B.
Per praticità, è sufficiente nel caso di verificare se il diagramma rappresentato è o meno una funzione, basta considerare solo l’insieme di partenza, e in particolare:

- se tutti i suoi elementi sono associati (da tutti parte una freccia);

- se essi sono associati a un solo elemento dell’insieme di arrivo (una sola freccia).
Infatti, non sono funzioni i seguenti diagrammi [foto 2 e 3, in allegato]:

Nel primo caso (foto 2) l’elemento Venezia ∈ A non è associato ad alcun elemento ∈ B; invece, nel secondo (foto 3) non si tratta di una funzione perché l’elemento “Alberto” ∈ A è associato a due elementi, “Dino”, “Eleonora” ∈ B e perché l’elemento “Cinzia” ∈ A non è associato ad alcun elemento ∈ B.

Ma è una funzione [foto 4, in allegato] poiché tutti gli elementi ∈ A sono associati a un solo elemento ∈ B: in questo caso, quindi non mi interessa se l’elemento Umbria ∈ B non è associato a un elemento ∈ A, dato che comunque la definizione di funzione è rispettata.

Una funzione viene di solito indicata in 2 modi:
f : A —> B
x |—> f(x) = y (con x ∈ A ∩ y ∈ B)

Quanto alla nomenclatura generale, è bene tenere presente che:

- l’insieme di partenza, per cui la funzione è definita, viene detto “dominio” della stessa;
- l’insieme di arrivo viene detto "codominio" della funzione;
- l’insieme che rappresenta SOLO gli elementi dell’insieme di arrivo a cui sono associati quelli dell’insieme di partenza è detto “insieme delle immagini”, dove a ogni elemento dell’insieme di arrivo (detto “immagine”) è associato un elemento di quello di partenza (detto “controimmagine).

Pertanto, nell’ultimo esempio illustrato [foto 4, in allegato]:
- l’insieme A di partenza è il dominio della funzione;
- l’insieme B di arrivo è il codominio, con l’insieme costituito dagli elementi “Lazio”, “Lombardia” e “Veneto” che rappresenta l’insieme immagine;

Roma (controimmagine) —> Lazio (immagine)
Milano (controimmagine) —> Lombardia (immagine)
Venezia (controimmagine) —> Veneto (immagine)

Infine, ci sono alcuni tipi di funzioni particolari:

- una funzione si dice iniettiva se e solo se ad elementi distinti dell’insieme di partenza corrispondono elementi distinti dell’insieme di arrivo [foto 5, in allegato];

- una funzione si dice suriettiva se e solo se tutti gli elementi dell’insieme di arrivo hanno una controimmagine nell’insieme di partenza [foto 6, in allegato];

- una funzione si dice biunivoca (o biiettiva) se e solo se è sia iniettiva che suriettiva [foto 7, in allegato].