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Si calcoli il valore dell'espressione seguente

[math]frac{(6/5)^4 \cdot (-10/3)^8 \cdot (2/15)^-6}{(12/5)^5 \cdot (2/5)^-4 \cdot 5^10}[/math]

Seguiamo questa strategia: semplifichiamo separatamente il numeratore e il denominatore, per poter osservare la situazione con più chiarezza.

Iniziamo con il numeratore.

[math](6/5)^4 \cdot (-10/3)^8 \cdot (2/15)^-6[/math]

Osserviamo il secondo fattore: l'esponente è

[math]8[/math]

e la base

[math]-10/3[/math]

, ma siccome essa è elevata a esponente pari, può essere considerata anche positiva.

Infatti ad esempio, non c'è differenza tra

[math](-2)^2[/math]

[math]2^2[/math]

Il numeratore quindi diviene

[math](6/5)^4 \cdot (10/3)^8 \cdot (2/15)^-6[/math]

Scomponendo in fattori primi

[math]((2 \cdot 3)/5)^4 \cdot ((5 \cdot 2)/3)^8 \cdot (2/(5 \cdot 3))^-6[/math]

quindi otterremo

[math](2^4 \cdot 3^4)/5^4 \cdot (5^8 \cdot 2^8)/3^8 \cdot 2^-6/(5^-6 \cdot 3^-6)[/math]

Ora mettiamo a sinistra tutti i fattori con base

[math]5[/math]

, a destra quelli con base

[math]3[/math]

e al centro quelli con base

[math]2[/math]

[math](5^8/(5^4 \cdot 5^-6)) \cdot (2^4 \cdot 2^8 \cdot 2^-6) \cdot (3^4/(3^8 \cdot 3^-6))[/math]

Applicando le proprietà delle potenze, si ha

[math]5^{(8-4+6)} \cdot 2^{(4+8-6)} \cdot 3^{(4-8+6)}[/math]

Ed eseguendo le semplici somme agli esponenti otterremo

[math]5^10 \cdot 2^6 \cdot 3^2[/math]

Ora passiamo al denominatore.

[math](12/5)^5 \cdot (2/5)^-4 \cdot 5^10[/math]

Scomponendo in fattori primi

[math]((2^2 \cdot 3)/5)^5 \cdot (2/5)^-4 \cdot 5^10[/math]

ovvero

[math]((2^10 \cdot 3^5)/5^5) \cdot (2^{-4}/5^{-4}) \cdot 5^10[/math]

e "isolando" come prima i termini con base uguale

[math](2^10 \cdot 2^-4) \cdot (5^5/5^-4) \cdot 3^5[/math]

applicando le proprietà delle potenze

[math]2^{10-4} \cdot 5^{5-(-4)} \cdot 3^5[/math]

ovvero

[math]2^6 \cdot 5^9 \cdot 3^5[/math]

A questo punto siamo pronti per in confronto diretto tra numeratore e denominatore.

In virtù dei conti che abbiamo appena eseguito, la nostra espressione è diventata

[math]frac{5^10 \cdot 2^6 \cdot 3^2}{2^6 \cdot 2^ \cdot 5^9 \cdot 3^5}=(5^10/5^9) \cdot (2^6/2^6) \cdot (3^2/3^5)=(5^{10-9}) \cdot (2^{6-6}) \cdot (3^{2-5})=5^1 \cdot 2^0 \cdot 3^-3=5 \cdot 1 \cdot 3^-3=5 \cdot 3^-3[/math]

Volendo, il risultato può essere scritto anche come

[math]5/27[/math]

dal momento che

[math]3^-3=1/27[/math]

FINE

Espressioni numeriche: frac{(6/5)^4(-10/3)^8(2/15)^-6}{(12/5)^5(2/5)^-45^10}

Si calcoli il valore dell'espressione seguente frac{(6/5)^4(-10/3)^8(2/15)^-6}{(12/5)^5(2/5)^-45^10} Seguiamo questa strategia: semplifichiamo separatamente il numeratore e il deno...

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