La risoluzione di equazioni algebriche di grado elevato

RIFERIMENTI

[0] M. Cipolla – ANALISI ALGEBRICA, Cap. XVIII, Terza Edizione 1948 - Editore G. Principato

[1] M. Cipolla – ANALISI ALGEBRICA, Cap. XVI, Terza Edizione 1948 - Editore G. Principato

[2] A. Bernardo - http://www.matematicamente.it/storia/l'equazione_di_terzo_grado.html

[3] M.T. Mazzucato - http://www.matematicamente.it/mazzucato/EquazioniAlgebriche.pdf

[4] E. Di Rienzo - http://www.matematicamente.it/approfondimenti/index.html

[5] http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ae.htm

[6] C.F. Gerald, P.O. Wheatley - Applied Numerical Analysis – Third Edition 1984 Addison-Wesley

Publishing Company

[7] F. Sheid - Analisi Numerica – Collana SCHAUM, 1975 - Etas /Libri

[8] http://hcgl.eng.ohio-state.edu/~ce406/Chapt1/Chapt1.pdf

[9] http://chml028.chml.ubc.ca/CHML/chbe330/notes/rootfind.doc

[10] http://www.vialattea.net/esperti/mat/bairstow/bairstow.htm

[11] G. Clemente, C. Signorini- Elementi di CALCOLO NUMERICO – Patron Editore – Bologna 1974

[12] G.B. De Sinno –Corso completo di MATEMATICHE PURE ,Tomo Primo,Cap.XIV,

–

Seconda Edizione STAMPERIA del FIBRENO - NAPOLI 1850

[13] E. Durand - Solutions Numeriques des Equations Algebriques, Tome I - Masson et C.ie Editeurs ,1960

ESEMPI DI RISOLUZIONE DI EQUAZIONI ALGEBRICHE

1 + − =

3

- Risolvere l’equazione x 6 x 20 0 utilizzando ed eseguendo il programma in Allegato2

sullo schermo del monitor comparirà la seguente stampa:

Il programma presenta due opzioni:

1) se si vuole risolvere un'equazione algebrica qualsiasi digitare 111

e quindi introdurre il suo grado ed i suoi coefficienti

2) se si vuole invece risolvere l'equazione di uno degli esempi

riportati nel listato di questo programma digitare 222 e quindi

introdurre il grado dell'equazione

------------------------------------------------------

quale opzione scegli? 111

introdurre il grado dell'equazione:3

introdurre i coefficienti

a( 1 )? 1

a( 2 )? 0

a( 3 )? 6

a( 4 )? -20

----------------------------------------------------------------------

I VALORI TROVATI PER LE 3 RADICI DELL'EQUAZIONE SONO:

x( 1 )=-1 + i 3

x( 2 )=-1 - i 3

x( 3 )= 2

------------------ VERIFICA------------------------------------------

VALORE di P (x( 1 )): 0 + i 0

VALORE di P (x( 2 )): 0 + i 0

VALORE di P (x( 3 )): 0

tempo impiegato: 0 secondi

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2 − + − + =

4 3 2

- Risolvere l’equazione x 15736 x 1674654086 x 2634032956

1236 x 5267396063

2000 0

ed eseguendo le indicazioni che compaiono sullo schermo

utilizzando il programma in Allegato 2

del monitor si sceglie l’ opzione 2

Il programma presenta due opzioni:

1) se si vuole risolvere un'equazione algebrica qualsiasi digitare 111

e quindi introdurre il suo grado ed i suoi coefficienti

2) se si vuole invece risolvere l'equazione di uno degli esempi

riportati nel listato di questo programma digitare 222 e quindi

introdurre il grado dell'equazione

------------------------------------------------------

quale opzione scegli? 222

grado dell'equazione? 4

------------- EQUAZIONE DI 4° GRADO --------------------------------

radici esatte : 2; 15728; 3 + i 40921; 3 + i 40921

coefficienti:

a( 1 )= 1

a( 2 )=-15736

a( 3 )= 1674654086

a( 4 )=-26340329561236

a( 5 )= 52673960632000

----------------------------------------------------------------------

I VALORI TROVATI PER LE 4 RADICI DELL'EQUAZIONE SONO:

x( 1 )= 15728

x( 2 )= 2

x( 3 )= 3 + i 40921

x( 4 )= 3 - i 40921

------------------- VERIFICA------------------------------------------

VALORE di P (x( 1 )): 0

VALORE di P (x( 2 )): 0

VALORE di P (x( 3 )): 0 + i 0

VALORE di P (x( 4 )): 0 + i 0

tempo impiegato: 0 secondi + − + − − =

5 4 3 2

3 x 7 x 638 x 9926 x 87236 x 549360 0

- Si vuole risolvere la seguente equazione:

seguendo le indicazioni che compaiono sullo schermo

eseguendo il programma in Allegato 2

del monitor si sceglie l’ opzione 1

Il programma presenta due opzioni:

1) se si vogliono calcolare le radici di una equazione algebrica digitare 111

e quindi introdurre il suo grado ed i suoi coefficienti

2) se si vuole risolvere l'equazione di uno degli esempi riportati nel listato del

presente programma digitare 222 e quindi introdurre il grado dell'equazione

? 111

grado dell'equazione? 5

introdurre i coefficienti

a( 1 )? 1

a( 2 )? 7

a( 3 )? -638

a( 4 )? 9926

a( 5 )? -87236

a( 6 )? -549360

----------------------------------------------------------------------

I VALORI TROVATI PER LE 5 RADICI DELL'EQUAZIONE SONO:

x( 1 )= 18

x( 2 )=-35

x( 3 )= 7 + i 13

x( 4 )= 7 - i 13

x( 5 )=-4

------------------- VERIFICA------------------------------------------

VALORE di P (x( 1 )): 0

VALORE di P (x( 2 )): 0

VALORE di P (x( 3 )): 0 + i 0

VALORE di P (x( 4 )): 0 + i 0

VALORE di P (x( 5 )): 0

tempo impiegato: 0 secondi

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4 - Risolvere la seguente equazione di 7° grado con i due algoritmi: Q-D e Bairstow:

7 6 5 4 3 2

x x x x x x x

+ 3974 –2520212 + 384480770 –13579847431 + 483395760056 – 8591662796578 + 63423616427580 = 0

risolvendola con l’algoritmo Q-D risolvendola con l’algoritmo di BAIRSTOW

(programma in Allegato 1 ) (programma in Allegato 2 )

si trovano per le sue radici i seguenti valori: si trovano per le sue radici i seguenti valori:

radici reali: radici reali:

xr( 1 ) =-4547.000000000002 xr( 1 ) =-4547

xr( 2 ) = 353.9999999999998 xr( 2 ) = 354

xr( 3 ) = 185.0000000000001 xr( 3 ) =185

radici complesse: radici complesse

xc( 1 ) = 4.000000000000909 + i 31.00000000007272 xc( 1 ) = 3.9999999999999998 + i 31

xc( 2 ) = 4.000000000000909 - i 31.00000000007272 xc( 2 ) = 3.9999999999999998 – i 31

xc( 3 ) = 13 + i 7.000000000028619 xc( 3 )= 13 + i 6.999999999999996

xc( 4 ) = 13 - i 7.000000000028619 xc( 4 ) = 13 – i 6.999999999999996

Le effettive 7 radici dell’equazione sono: -4547 ; 185 ; 354; 4 ± i 31; 13 ± i 17 , per cui si noti la eccellente

approssimazione ottenuta.

5 - Sia da risolvere la seguente equazione di 9° grado :

− + + + − − + − + =

9 8 7 6 5 4 3 2

x 5 x 34 x 87 x 92 x 90 x 31

x 778 x 65 x 8 0

P(x) =

Utilizzando il programma in Allegato 2 (Bairstow) eseguendo le indicazioni che compaiono sullo schermo si

sceglie l’ opzione 1

Il programma presenta due opzioni

1) se si vogliono calcolare le radici di una equazione algebrica digitare 111

quindi introdurre il suo grado ed i suoi coefficienti battendo ogni volta tasto invio

2) se si vuole risolvere l'equazione di uno degli esempi riportati nel listato del programma

digitare 222 e quindi introdurre il grado dell'equazione battendo ogni volta tasto invio

quale opzione? 111

grado dell'equazione? 9

introdurre i coefficienti

a( 1 )? 1

a( 2 )? -5

a( 3 )? 34

a( 4 )? 87

a( 5 )? 92

a( 6 )? -90

a( 7 )? -31

a( 8 )? 778

a( 9 )? -65

a( 10 )? 8

----------------------------------------------------------------------

I VALORI TROVATI PER LE 9 RADICI DELL'EQUAZIONE SONO:

x( 1 )= 4.164367880078814D-02 + i 9.262957138114185D-02

x( 2 )= 4.164367880078814D-02 - i 9.262957138114185D-02

x( 3 )=-1.234482222112714 + i 1.658111661918189

x( 4 )=-1.234482222112714 - i 1.658111661918189

x( 5 )= 1.057399344222862 + i .9773678844460866

x( 6 )= 1.057399344222862 - i .9773678844460866

x( 7 )= 3.557900355354126 + i 5.898401099594206

x( 8 )= 3.557900355354126 - i 5.898401099594206

x( 9 )=-1.844922312530125

------------------- VERIFICA------------------------------------------

VALORE di P (x( 1 )): 2.56695706357668D-14 + i 3.939990694812323D-16

VALORE di P (x( 2 )): 2.56695706357668D-14 – i 3.939990694812323D-16

VALORE di P (x( 3 )): 1.849958988081601D-12 + i 2.389052931178748D-12

VALORE di P (x( 4 )): 1.849958988081601D-12 – i 2.389052931178748D-12

VALORE di P (x( 5 )): 2.445309579823807D-13 – i 4.928848128249452D-13

VALORE di P (x( 6 )): 2.445309579823807D-13 + i 4.928848128249452D-13

VALORE di P (x( 7 )):-2.184939304136768D-09 – i 8.733180810460706D-10

VALORE di P (x( 8 )):-2.184939304136768D-09 + i 8.733180810460706D-10

VALORE di P (x( 9 )):-4.331097112897364D-12

tempo impiegato: 3.2421875 secondi

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OSSERVAZIONI: della suddetta equazione non si conoscono i valori effettivi delle radici : tuttavia i valori trovati

possono essere considerati delle ottime approssimazioni delle radici constatando che il valore assunto dal polinomio

P(x) in corrispondenza di tali valori risulta praticamente uguale zero.Del resto risolvendo l’equazione con

l’algoritmo Q-D si trova il valore -1.844922312530126 per l’unica radice reale che è uguale a meno della cifra

decimale meno significativa a quello trovato con l’algoritmo di Bairstow.

6 -Si vuole risolvere la seguente equazione di grado 13°:

+ − − − + + − + − − + + + =

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

1 . 95 x 8 . 85 x 1 . 27 x 3 . 81

x 1 . 89 x 6 .

87 x 4 . 09 x 2 .

91

x 4 . 45 x 9 . 17 x 0 . 31

x 9 . 67 x 8 . 53 x 2 . 23 0

seguendo le indicazioni che compaiono sullo schermo si sceglie l’ opzione 1

Il programma presenta due opzioni:

1) se si vogliono calcolare le radici di una equazione algebrica digitare 111,

quindi introdurre il suo grado ed i suoi coefficienti battendo ogni volta tasto invio

2) se rivuole risolvere l’equazione di uno degli esempi riportati nel listato del programma

digitare 222 , quindi introdurre il grado dell’ equazione battendo ogni volta tasto invio

quale opzione? 111

grado dell’equazione? 13

introdurre i coefficienti:

a( 1 )? 1.95

a( 2 )? 8.85

a( 3 )? -1.27

a( 4 )? -3.81

a( 5 )? -1.89

a( 6 )? 6.87

a( 7 )? 4.09

a( 8 )? -2.91

a( 9 )? 4.45

a( 10 )? -9.17

a( 11 )? -0.31

a( 12 )? 9.67

a( 13 )? 8.53

a( 14 )? 2.23

----------------------------------------------------------------------

I VALORI TROVATI PER LE 13 RADICI DELL'EQUAZIONE SONO:

x( 1 )=-.4236646377662956

x( 2 )=-4.604272458509148

x( 3 )= 1.004729553860226 + i .3121776607888914

x( 4 )= 1.004729553860226 - i .3121776607888914

x( 5 )= .0816401176996516 + i .9844357667250211

x( 6 )= .0816401176996516 - i .9844357667250211

x( 7 )=-.4060555579184616 + i .3899084388594801

x( 8 )=-.4060555579184616 - i .3899084388594801

x( 9 )=-.7066287282846166 + i .91734358674061

x( 10 )=-.7066287282846166 - i .91734358674061

x( 11 )= .801092265130999 + i .7504521110868337

x( 12 )= .801092265130999 - i .7504521110868337

x( 13 )=-1.060079743161692

------------------ VERIFICA--------------------------------------