Disequazioni - Esercizi commentati

Le disequazioni di primo grado

I passaggi da seguire per risolvere le disequazioni di primo grado (quelle in cui compare la “x” di primo grado, cioè senza alcun esponente, o meglio con esponente “1” che non si scrive) sono sempre e solo i seguenti.

1)Semplifica l’espressione, vale a dire devi eliminare TUTTE le parentesi. Ecco alcuni casi.
Se nella disequazione c’è un numero davanti la parentesi, devi moltiplicare quel numero per ogni termine dentro la parentesi, scrivendo ogni risultato uno di seguito all’altro e senza parentesi.
Se davanti alla parentesi c’è il segno “-” (meno), devi cambiare di segno a ogni termine dentro le parentesi che stai togliendo.
Se dentro le parentesi ci sono somme algebriche, falle.
Se le parentesi sono elevate a un esponente, risolvi la potenza (spesso si tratta di prodotti notevoli).

2) Porta al primo membro, cioè a sinistra di > (o <) (che sta in mezzo), tutti i termini in “x”, cioè tutti i numeri che hanno una “x”. Se questi termini sono già a sinistra di > (o <), devi solo ricopiarli. Se questi termini si trovano a destra di > (o <) , riscrivili a sinistra cambiando loro di segno. Solo dopo aver fatto ciò, porta a destra di > (o <) tutti i numeri che non presentano la “x”, eventualmente cambiando di segno come prima. Occupati prima dei termini con “x” e poi dei termini senza, così da non confonderti.

3) Considera solo il primo membro ed esegui la somma algebrica di tutti i numeri, ricordando di scrivere la x accanto al risultato. Poi scrivi > (o <). Poi considera il secondo membro e fai la somma dei numeri.

4)Sei arrivato al punto in cui hai un termine in x al primo membro, e un numero senza la x al secondo membro. Il tuo obiettivo è trovare la x da sola, quindi elimina il numero che c’è accanto alla “x” e riscrivilo come denominatore al secondo membro. Semplifica se puoi. Se la “x” è negativa, cambia di segno in entrambi i membri. Se non c’è nessun numero e hai una disequazione del tipo x < (o >) di un numero, allora hai finito. Questo è il risultato.

Apparentemente alcune disequazioni di primo grado sembrano essere di secondo grado (perché facendo i passaggi si ottiene x2), ma andando avanti il termine in x2 scompare, perché semplificato con altri termini in x2, e quindi diventa una disequazione di primo grado.

VEDI 2° ESEMPIO nel file allegato.

Le disequazioni di 2° grado

Per le disequazioni di secondo grado (quelle in cui compare la “x” di secondo grado, cioè x2), i passaggi sono i seguenti. Vi sono diversi casi di disequazioni di secondo grado, affrontiamo ora quelli più comuni.

Disequazione < 0 con delta < 0

1) Per il primo passaggio, vedi disequazioni di primo grado.
2) Se ottengo una disequazione del tipo ax2+bx+c>0 (ci può essere + oppure - , > o uguale oppure > o uguale), allora semplicemente risolvo l’equazione associata, cioè trasformo il segno di > o < in =.
3) Trovo il Delta. Questo può risultare maggiore, minore o uguale a 0. Nell’esempio, è minore di 0. La regola dice che per una disequazione di 2° grado > o uguale a zero e con delta < 0 , non vi sono soluzioni.
4) Soluzione: per nessuna “x” appartenente all’insieme R.

Vedi 1° esempio nel file allegato.

Disequazione fratta < 0 (caso disequ. Spuria)

Nel caso delle disequazioni fratte, cioè con la x al numeratore e denominatore, devo trattare SEPARATAMENTE il numeratore e il denominatore.

1) Mi occupo del numeratore. E’ una disequazione spuria, quindi non mi calcolo il Delta ma la trasformo direttamente nell’equazione associata. Vedo anche che devo semplificare: ho -x2 e non x2 quindi cambio di segno tutti i termini.
2) Il secondo passaggio per una disequ. Spuria è prendere a fattore comune una x, cioè isolo una x che sarà x=0; rimane una seconda equazione del tipo x+ n (nell’esempio sotto, x+3), risolvibile come equaz. Di primo grado. Ora, ho due soluzioni.
3) Ma queste due soluzioni sono dell’equazione associata, io invece ho bisogno delle soluzioni della disequazione iniziale del numeratore. Applico la regola del D.I.C.E. Pongo il numeratore originale > 0 : per la regola del DICE, ho segno della -x2 minore di zero, e segno della disequazione > 0. Quindi la soluzione del Numeratore sarà : tutte le soluzioni interne tra i due valori trovati al punto 2.
4) Faccio il grafico.
5) Faccio ora il Denominatore. E’ una disequazione di primo grado (applico i passaggi di pagina 1).

6) Faccio il grafico finale. Moltiplico i segni di numeratore e denominatore, per ogni intervallo di numeri sulla linea orizzontale dei numeri. Considero il segno “meno” perché nella traccia della disequazione originale il segno è < 0. Gli intervalli in cui risulta il segno “meno” saranno le soluzioni finali.

Vedi 3° esempio nel file allegato.

Disequazione > 0 con delta = 0
Vedi 4° esempio nel file allegato. Questa è una tipica disequazione del tipo ax2+bx+c>0 .

Disequazione fratta (caso disequazione ura)

Vedi 5° esempio nel file allegato. Nell’esercizio seguente, applichiamo i passaggi visti sopra. Attenzione al Numeratore: è una disequ. Pura del tipo ax2+c=0 , per la cui risoluzione considero prima l’equazione associata, trovo i due valori di x e infine applico la regola del DICE per scegliere le soluzioni interne o esterne ai due valori.

Disequazione fratta < 0 a tre fattori

Vedi 6° esempio nel file allegato.