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Sintesi

Discussione di un'equazione parametrica di primo grado

Discutere un'equazione al variare del parametro k Cosa significa? L'equazione di primo grado ridotta alla forma canonica, assume questo aspetto:
[math]Ax=B[/math]
la sua soluzione è:
[math]x=\frac{B}{A}[/math]
Questo significa che deve essere necessariamente
[math]A\neq0[/math]
altrimenti non possiamo effettuare la divisione tra i due coefficienti. Quando i coefficienti A e B dipendono da un parametro, bisogna vedere per quali valori assunti dal parametro, A e B esistono e l'equazione ammette soluzione oppure no.
Ricordiamo ora come può essere un'equazione di primo grado. Determinata: se ammette una sola soluzione, in questo caso basta che sia
[math]A\neq0[/math]
Indeterminata: se ammette infinite soluzioni, in questo caso i due coefficienti sono entrambi nulli. Impossibile: se non ammette soluzioni, in questo caso significa che
[math]A=0[/math]
. Abbiamo quindi le seguenti condizioni: determinata:
[math]x=\frac{B}{A}∧A≠0[/math]
indeterminata:
[math]A=0∧B=0[/math]
impossibile:
[math]A=0∧B≠0[/math]
Vediamo un'applicazione numerica di esempio. Discutere la seguente equazione al variare del parametro k
[math]9x+6=k^2 x+5k+5x-k^2[/math]
La prima cosa da fare è quella di portare l'equazione alla foma canonica per evidenziare i due coefficienti A e B:
[math](k^2-4)x=k^2-5k+6[/math]
la sua soluzione è:
[math]x=\frac{B}{A}=\frac{k^2-5k+6}{k^2-4}[/math]
Cerchiamo di usare le scomposizioni dei polinomi, se possibile, per avere una forma più semplice su cui discutere:
[math]x=\frac{k-3}{k+2}[/math]
A questo punto non ci resta che esaminare come devono essere A e B. L'equazione è determinata se:
[math]A≠0→k+2≠0→k≠-2[/math]
e la sua soluzione ha la forma:
[math]x=\frac{k-3}{k+2}[/math]
L'equazione è indeterminata se:
[math]A=B=0→k=-2\wedge k=3[/math]
L'equazione è impossibile se:
[math]A=0\wedge B\neq 0→k=-2\wedge k\neq3[/math]
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