Determina i valori reali del parametro per i quali nell'equazione di incognita
[math]x[/math]
risultano verificate le condizioni indicate 5)L'equazione
[math](k+1)x^2-kx+1=0[/math]
a)abbia soluzioni reali distinte;
b)abbia soluzioni reali coincidenti; c)abbia soluzioni reali inverse rispetto all'addizione; d)abbia soluzioni reali inverse rispetto alla moltiplicazione.Svolgimento
a)Deve risultare[math]\Delta>0[/math]
[math]\Delta=b^2-4ac=(-k)^2-(4 \cdot (k+1) \cdot 1)=k^2-4k-4[/math]
Quindi[math]\Delta>0 k^2-4k-4>0[/math]
. Studiamo la disequazione di secondo grado
[math]k^2-4k-4>0[/math]
[math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-((-4) \cdot 1)=4+4=8[/math]
[math]k_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(\Delta)/4})/a=(2+-\sqrt8) => k_1=2+\sqrt8 ^^ k_2=2-\sqrt8[/math]
. Pertanto affinchè si abbiano due soluzioni reali e distinte deve risultare[math]k2+\sqrt8[/math]
b)deve risultare
[math]\Delta=0[/math]
, ovvero [math]k^2-4k-4=0[/math]
. Dal punto a) possiamo già concludere che l'equazione è verificata per [math]k=2+-\sqrt8[/math]
. c)Deve risultare
[math]x_1+x_2=1[/math]
, ovvero [math]-B/A=1[/math]
Dove [math]B=-k ^^ A=k+1[/math]
Pertanto bisogna trovare i valori di [math]k[/math]
che verificano la seguente equazione[math]-B/A=k/(k+1)=1[/math]
Risolviamo l'equazione di primo grado[math]k/(k+1)=1[/math]
;[math]k/(k+1)-1=0[/math]
;[math](k-k-1)/(k+1)=0[/math]
;[math]-1/(k+1)=0[/math]
. L'equazione non può essere verificata per nessun valore di [math]k[/math]
. d)Deve quindi risultare
[math]x_1x_2=1[/math]
, ovvero [math]C/A=1[/math]
Nella nostra equazione si ha:[math]C=1 ^^ A=k+1[/math]
Vediamo per quali valori di [math]k[/math]
, è verificata la seguente equazione[math]1/(k+1)=1[/math]
;[math]1/(k+1)-1=0[/math]
;[math](1-k-1)/(k+1)=0[/math]
;[math]-k/(k+1)=0 k=0[/math]
.
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