Campi

La terna (K, +, ·)con K un insieme e +, · (somma e prodotto) due operazioni binarie interne a K, si dice campo se (K, +) `e un gruppo abeliano (con elemento neutro 0) (K − {0}, ·) `e un gruppo abeliano (con elemento neutro 1) per ogni x, y, z ∈ K si ha x · (y + z) = (x · y) + (x · z) e (x + y) · z = (x · z) + (y · z) (il prodotto `e distributivo rispetto alla somma).
Proprietà: 0 · x = x · 0 = 0 per ogni x ∈ K

Esempi

(Z, +, ·) non `e un campo
(Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) sono campi
In un campo vale la legge di annullamento del prodotto:
x · y = 0 =⇒ x = 0 oppure y = 0

N-ple Sia K un campo e n ∈ N, l’insieme Kn delle n-ple di elementi di K è K
n = K × K × · · · × K (n volte)| {z }= {(a1, . . . , an) | ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ n}.
Somma di n-ple: operazione binaria interna
(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn).
Prodotto per uno scalare: operazione binaria
· : K × K^n → K^n
λ · (a1, . . . , an) = (λa1, . . . , λan)
Proprietà
(Kn, +) `e un gruppo abeliano
elemento neutro: -0 = (0, . . . , 0)
elemento opposto: −(a1, . . . , an) = (−a1, . . . , −an)
Proprietà:
-(α + β) · (a1, . . . , an) = α · (a1, . . . , an) + β · (a1, . . . , an)
-α · ((a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn)) = α · (a1, . . . , an) + α · (b1, .. . , bn)
-(α · β) · (a1, . . . , an) = α · (β · (a1, . . . , an))1 · (a1, . . . , an) = (a1, . . . , an)
-(α · β) · (a1, . . . , an) = α · (β · (a1, . . . , an))
-1 · (a1, . . . , an) = (a1, . . . , an) , an)