Autovettori e autovalori

11. Autovettori e autovalori

→ ∈

Sia f: V → V un’applicazione lineare di V in se stesso. Un vettore v ∈ V diverso dal vettore nullo si dice autovettore se esiste λ tale per cui f(v) = λv. Lo scalare λ si dice anche autovalore associato all’autovettore v.

L’insieme V_λ di tutti gli autovettori di autovalore λ, a cui va aggiunto il vettore nullo, è un sottospazio vettoriale di V, detto anche autospazio relativo all’autovalore λ. La dimensione di V_λ è anche detta molteplicità geometrica di λ.

Polinomio caratteristico e molteplicità

λ ×

Vediamo il parallelismo con le matrici. Se A è una matrice n × n, allora si dice polinomio caratteristico di A il polinomio p_A(λ) = det(A − λI). La molteplicità algebrica di una radice di p_A è h se

p_A(x) = (x − λ)^hg(x), g(λ) ≠ 0.

La dimostrazione del seguente risultato è molto semplice e si può fare per esercizio; deriva dalla definizione di autovalore.

Teorema

Sia f: V → V un’applicazione lineare di V in se stesso. Lo scalare λ è un autovalore di f se e solo se λ è radice di p_A, dove A è la matrice che rappresenta f rispetto ad una base arbitrariamente fissata in V.

Osservazione

Si può dimostrare che la molteplicità geometrica di un autovalore λ è sempre minore o uguale alla molteplicità algebrica dello stesso autovalore λ.

Esempio

Consideriamo l’applicazione f: ℝ³ → ℝ³ rappresentata rispetto alla base canonica dalla matrice

Allora il polinomio caratteristico è dato da

det

= (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3).

f ha quindi tre autovalori distinti.

Proposizione

Siano V_λ e V_µ due autospazi associati a due autovalori distinti; allora V_λ ∩ V_µ = {0}.

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