Autovalori e autovettori

Autovalori e autovettori

Denizioni
Dato un endomorfismo T :V^n →V^n, uno scalare λ ∈ K si dice autovalore di T se
esiste un vettore v diverso da ¯0 tale che T(v) = λ · v. Il vettore v si dice autovettore di T relativo a λ. L’autospazio di T relativo a λ `e il sottospazio vettoriale di V^n: Uλ(T) = {v ∈ V^n| T(v) = λ · v}.
Osservazione: λ `e un autovalore di T se e solo se Uλ(T) diverso da{¯0}.
Definizione
Una base spettrale di V^n relativa a T `e una base di V^n formata da autovettori di T.
Definizione
Si dice polinomio caratteristisco di T e si scrive ∆T (t) il polinomio caratteristico della matrice associata a T rispetto ad una qualunque base ordinata di V^n.
Proposizione
Sia B una base ordinata di V^n e A = MB(T). Dato v ∈ V^n sia (x) la colonna delle componenti di v rispetto a B, allora
(1) v ∈ Uλ(T) ⇐⇒ (λ · In − A)(x) = (0)
(2) λ `e un autovalore di T ⇐⇒ ∆T (λ) = 0
Definizioni
La molteplicità algebrica, ma(λ), di un autovalore λ `e la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico ∆T (t), cioè ma(λ) = r sse ∆T (t) = (t − λ) r· p(t) e p(λ) 6= 0
La molteplicità geometrica, mg(λ), di un autovalore λ `e la dimensione di Uλ(T).
Osservazione: mg(λ) = n − ρ(λ In − A).