Applicando le propriet dei logaritmi e supponendo le variabili positive e
[math] a ? ?_0 ^+ - {1}[/math]
, verificare le seguenti identit.
[math] 2 \\log_a (x) - 2 \\log_a (y) + 3 \\log_a (\sqrt{y}) - 1/3 \\log_a (x) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
Svolgimento
Secondo le propriet dei logaritmi, abbiamo che :
[math] \\log_a (b^k) = k \\log_a(b)[/math]
Possiamo quindi mettere ad esponente il coefficiente dei logaritmi:
[math] \\log_a (x^2) - \\log_a (y^2) + \\log_a ((\sqrt{y})^3) - \\log_a (x^{1/3}) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
Sappiamo che la radice di un numero pu essere scritta in questo modo:
[math] \sqrt{a} = a ^{1/2}[/math]
quindi:
[math] \\log_a (x^2) - \\log_a (y^2) + \\log_a ((y^{1/2})^3) - \\log_a (x^{1/3}) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
[math] \\log_a (x^2) - \\log_a (y^2) + \\log_a (y^{3/2}) - \\log_a (x^{1/3}) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
Inoltre abbiamo che:
[math]\\log_a (frac(b_1)(b_3)) = \\log_a(b_1) - \\log_a(b_2)[/math]
Applicando questa propriet si ha che:
[math] \\log_a (frac(x^2)(y^2)) + \\log_a (frac(y^{3/2})(x^{1/3})) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
Inoltre sapendo che:
[math] \\log_a(b_1 \cdot b_2) = \\log_a(b_1) + \\log_a(b_2)[/math]
possiamo scrivere
[math] \\log_a (frac(x^2)(y^2) \cdot frac(y^{3/2})(x^{1/3}) ) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
Svolgiamo la moltiplicazione:
[math] \\log_a (x^{2 - 1/3} \cdot y^{3/2 - 2}) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
[math] \\log_a (x^{5/3} \cdot y^{- 1/2}) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
[math] \\log_a (frac(x^{5/3})(y^{1/2})) = 1/6 \\log_a (frac(x^{10})(y^3))[/math]
Modifichiamo anche il secondo membro:
[math] \\log_a (frac(x^{5/3})(y^{1/2})) = \\log_a ((frac(x^{10})(y^3))^{1/6})[/math]
[math] \\log_a (frac(x^{5/3})(y^{1/2})) = \\log_a (frac((x^{10})^{1/6})((y^3)^{1/6}))[/math]
[math] \\log_a (frac(x^{5/3})(y^{1/2})) = \\log_a (frac( x^{(10)/6} )(y^{3/6}))[/math]
[math] \\log_a (frac(x^{5/3})(y^{1/2})) = \\log_a (frac( x^{5/3} )(y^{1/2}))[/math]
Abbiamo ottenuto lidentit.
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