Introduzione alle equazioni

Introduzione alle equazioni

Definizione: un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche, la quale va verificata. Un’equazione può essere vera o falsa in base ai valori che assume x.
Le identità sono particolari equazioni.
Es.: 9x+6=3x+1
X: incognita
9 e 3: coefficienti dell’incognita
6 e 1: termini noti
Risolvere un’equazione significa trovare tutti i valori numerici, i quali se sostituiti alle incognite, dimostrano che l’uguaglianza è vera. Questi valori vengono chiamati soluzioni o radici dell’equazione.
L’insieme S delle Soluzioni di un’equazione può quindi essere: Vuoto, Finito, non vuoto (e, in particolare, può essere costituito da un solo elemento) o infinito.
Due o più equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Un’identità è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche, verificata per qualunque valore attribuito alle lettere che vi compaiono.

Il grado di un'equazione

Il grado di un’equazione è il massimo grado dei monomi che compaiono in questa.
Le equazioni possono essere: 1) A 1 incognita: quando compare una sola lettera
2) A più incognite: quando compaiono più lettere

Primo principio di equivalenza

Addizionando o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Es.x+3=10 dividiamo i due membri e li poniamo su una bilancia
Se aggiungiamo una stessa quantità su entrambi i piatti, la bilancia resta in equilibrio.
X+3=10 x+3+2=10+2
x=7 è soluzione, x=7 è soluzione, infatti
infatti 7+3=10 7+3+2=10+2
Le equazioni x+3=10 e x+3+2=10+2
sono equivalenti
Se sottraiamo una stessa quantità da entrambi i piatti, la bilancia resta in equilibrio.
X+3=10 x+3-3=10-3
x=7 è soluzione, x=7 è soluzione,
infatti 7+3=10 infatti 7+3-3=10-3
Le equazioni x+3=10 e x+3=10-3 sono equivalenti.
Conseguenze del I principio
Dal primo principio si possono ricavare due utili conseguenze:
-regola del trasporto: in un’equazione un qualsiasi termine può essere trasportato da un membro all’altro cambiando il suo segno; si ottiene così un’equazione equivalente;
x-8=15x=15+8
-regola di elisione: se nei due membri di un’equazione compaiono due termini uguali, questi possono essere eliminati; si ottiene così un’equazione equivalente.
2x+3=9x+3

Risoluzione di un’equazione

Un’equazione di primo grado in una incognita si dice ridotta in forma normale quando contiene solo due termini: al primo membro il termine con l’incognita e al secondo membro il termine noto.
ax=b
a=coefficiente
x=incognita
b= termine noto
Un’equazione a coefficienti interi, procedimento:
1.svolgere i calcoli al primo e secondo membro;
2.applichiamo il 1°principio di equivalenza: tutti i termini con la x vanno al primo membro e tutti i termini noti vanno al secondo membro;
3.svolgere i calcoli in ciascuno dei 2 membri e ottenere il risultato.
10(x+1)=4(x+7)+6
10x+10=4x+28+6
10x+10=4x+34
10x-4x=34x-10
6x=24
x=24/6=4
Un’equazione con le frazioni, procedimento:
1.trovare il m.c.m. dei denominatori;
2.Applichiamo il 2° principio di equivalenza: moltiplichiamo per il denominatore entrambi i membri;
3.Svolgere i calcoli e portiamo in forma normale, termini con la x al primo membro
4. Ottenere il risultato
2x-1/3-x-5/6= x-3/4
4(2x-1)-2(x-5)/12= 3(x-3)/12
4(2x-1)-2(x-5)=3(x-3)
8x-4-2x+10=3x-9
8x-2x-3x=4-10-9
3x=-15
3x/3=-155/3
x=-5