Note di algebra

8. GRUPPI RISOLUBILI 41

∩ ∩ ∩ ∩

K = K (HA) = H(K A) > H, quindi H A < K A G

E

∩

(K A è normale in G perché normalizzato da H e da A),

∩ ≤

quindi A = K A, cioè A K. Segue G = K dato che

≤

G = HA K.

7. Sia G un gruppo risolubile finito.

Proposizione

(1) Ogni fattore di composizione di G ha ordine primo.

(2) Ogni fattore principale di G è un p-gruppo abeliano

elementare per qualche primo p.

(3) L’indice di ogni sottogruppo massimale di G è una

potenza di un primo.

Dimostrazione.

(1) Sia H/K un fattore di composizione di G. Allora

H in quanto sottogruppo di G è risolubile, e H/K

in quanto quoziente di H è risolubile. Ne segue che

H/K è risolubile e semplice, quindi è abeliano e quin-

di è ciclico di ordine primo.

(2) Dato che la risolubilità è stabile per passaggio al

quoziente, basta mostrare che i sottogruppi normali

minimali di G sono p-gruppi abeliani elementari per

qualche primo p. Ma nella sezione 7 abbiamo visto

che un sottogruppo normale minimale N è il prodot-

to dei coniugati di un sottogruppo sub-normale mini-

male S, e un sottogruppo sub-normale minimale di G

è semplice e risolubile, quindi ciclico di ordine p pri-

∼ ∼ [G:N (S)]

g

Q

mo: S C . Segue che N = S C G

= =

p p

g∈G

è un p-gruppo abeliano elementare.

(3) Sia M un sottogruppo massimale di G. Possiamo

supporre che M contenga soc(G), perché in caso con-

trario esiste un sottogruppo normale minimale N non

∼

contenuto in M , da cui G = M N e G/N = M N/N =

∩

M/M N , quindi

|G| |G| |N |

[G : M ] = = =

|M | |G||M ∩ |/|N | |N ∩ |

N M

|N |

è una potenza di un primo perché lo è. Procedi-

|G|. 6 ⊆

amo per induzione su Dato che 1 = soc(G) M ,

42 1. GRUPPI

si ha che [G : M ] = [G/ soc(G) : M/ soc(G)] per

ipotesi induttiva è una potenza di un primo.

Attenzione: se G è un gruppo nilpotente (in particolare

risolubile), in generale la sua classe di nilpotenza e la sua

lunghezza derivata sono due numeri distinti. Esistono gruppi

con lunghezza derivata 2 e classe di nilpotenza arbitrariamente

grande. Nel seguito faremo un esempio di un tale gruppo.

Intanto diamo una nuova caratterizzazione dei gruppi nilpo-

tenti. Dato un gruppo G e due suoi sottogruppi H, K defini-

amo h{[h, | ∈ ∈

[H, K] := k] h H, k K}i.

0

Per esempio [G, G] = G .

Rimarchiamo qualche utile proprietà dei commutatori. Siano

x, y, z elementi di G, siano H, K sottogruppi di G.

−1

• [x, y] = [y, x].

y

• [xy, z] = [x, z] [y, z].

y

• [z, xy] = [z, y][z, x] .

• ≤ ⊆

N G è normale in G se e solo se [N, G] N .

• ⊆

H e K commutano modulo N se e solo se [H, K]

EG

N .

La seconda proprietà elencata dice che fare il commutatore con

z a destra è un 1-cociclo (si veda più avanti per la definizione

di 1-cociclo). Questo implica in modo immediato che H e K

normalizzano [H, K]: si tratta di usare la seconda proprietà

∈ ∈

con x H, z K e y in uno tra H e K.

Dato G, definiamo una catena di sottogruppi di G come

1 n+1 n

segue: G := G, G := [G , G]. La catena

1 2 n

G = G G ... G ...

D D D D

è una serie centrale. Abbiamo il seguente risultato:

8. Un gruppo finito G è nilpotente se e

Proposizione n

∈

solo se esiste n tale che G = 1. In questo caso la classe

N

di nilpotenza di G coincide col più piccolo intero r tale che

r+1

G = 1. 8. GRUPPI RISOLUBILI 43

Posposta.

Dimostrazione.

Per esempio, un gruppo G è nilpotente con classe di nilpoten-

0 0

2

⊆

za 2 se e solo se G Z(G) (ovvio, dato che G = [G, G] = G ).

n

x]( )

n n n

∈

In questo caso se x, y G si ha (xy) = x y [y, .

2

Per induzione: ricordando che i com-

Dimostrazione.

mutatori stanno nel centro abbiamo

−1

2 2 2 2 2 2

x y [y, x] = x yx yx = x[x, y]y x = xy x[x, y] = xyxy = (xy) .

−

Supponiamo di aver dimostrato il risultato per n 1. Al-

7→

lora ricordando che l’operazione di commutazione (x, y)

[x, y] è bilineare, nel senso che [xz, y] = [x, y][z, y] e [x, yz] =

[x, y][x, z] (per la seconda proprietà di cui sopra, ricordando

che in questo caso i commutatori sono nel centro), si ha:

n−1

x]( )

n n−1 n−1 n−1

(xy) = (xy) xy = x y [y, xy =

2

n−1

x]( )

n−1 n−1

= x y xy[y, =

2 n−1 )

x](

n−1 n−1 n−1 =

= x xy [y , x]y[y, 2

n−1 n

x]( ) x]( )

n n n−1 n n

= x y [y, x] [y, = x y [y, .

2 2

n

|G| ≤

Sia ora G un p-gruppo, con = p . Allora cl(G) n,

perché i centri successivi male che vada hanno ordine p. In

realtà possiamo dire meglio. Nel seguito sia n > 1.

1 2 2

|G | ≥ ≤ −

9. /G p . In particolare cl(G) n 1.

Lemma 1 2

|G |

Supponiamo per assurdo che /G =

Dimostrazione. 3 2 3 ⊆

G := G/G e Z := G /G . Allora Z Z(G).

p. Siano 2

∈ −

Sia g G Z. Allora g ha ordine p modulo G , quindi

3 2

G = Zhgi, quindi G è abeliano, cioè G = G . Quindi sic-

0

2

come G è nilpotente si deve avere G = 1, cioè G = 1. Ma

allora 0

n 1 2

|G| |G/G | |G |

p = = = /G = p,

contraddizione.

44 1. GRUPPI

Facciamo ora un esempio di un p-gruppo G di lunghezza

∼

hgi

derivata 2 e classe di nilpotenza p. Sia H = C , e sia

= p

∼

hσi ≤

K = C Sym(p), con σ = (1 ... p). Consideriamo

= p p

il prodotto semidiretto G := H K con l’azione di σ che

o

fa slittare ogni componente di uno a destra. In questo modo

p+1

|G| ≤

= p , quindi cl(G) p. D’altra parte la lunghezza

≤

derivata di G è 2 (ricordiamo infatti che se N allora l(G)

EG

p 6

l(N )+l(G/N )). Mostrare che G = 1 è sufficiente per dedurre

p

∈

che cl(G) = p. Sia allora x := (g, 1, ..., 1) N = H . È un

facile conto dimostrare che allora l’elemento

[x, σ, σ, ..., σ] −

ha g nell’ultima posizione quando i σ sono al più p 1. In

−

particolare questo vale se i σ sono p 1, da cui quello che

vogliamo. 3

8.1. Gruppi di ordine p . Classifichiamo i gruppi di

3 3

ordine p . Sia G un gruppo di ordine p . Se G è abeliano

allora il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti implica

×C

che G è isomorfo ad uno dei seguenti tre gruppi: C , C ,

3 2 p

p p

× ×

C C C .

p p p

Supponiamo ora G non abeliano. G è nilpotente e come

1 2 2 1 2 2

≥ |G |

abbiamo visto G /G ha ordine p , per cui /G = p

0

2 6

perché G = G = 1. Segue che l’indice di nilpotenza di G è

p

x]( )

p p p

∈

2, quindi se x, y G abbiamo che (xy) = x y [y, .

2

6

Supponiamo p = 2. Distinguiamo due casi.

2 haiCG.

(1) G contiene un elemento a di ordine p . Allora

hai?

Esiste un complemento di Sia b un elemento di

hai. hbi

G non appartenente a Se b ha ordine p allora

hai.

complementa Supponiamo che b abbia ordine

2 hai ∩ hbi hci

p . L’intersezione è un gruppo ciclico

di ordine p, e possiamo scegliere a e b in modo che

p

a]( )

−1 −1

p p p p p

a = c = b . Allora (ab ) = a (b ) [b, =

2

p p

a]( ) a]( )

−1

· 6

c c [b, = [b, . Ora siccome p = 2, si ha che

2 2 p

a]( )

p 2

∈

p divide e quindi [b, = 1 dato che [b, a] G

2

2 −1

2

e G è ciclico di ordine p. Ne segue che ab è un

8. GRUPPI RISOLUBILI 45

−1

hai, hab i

elemento di ordine p che non sta in quindi

hai.

complementa ∈ hxi

Abbiamo dimostrato che esiste x G tale che

hai hai hxi.

complementa in G, ovvero G = Ricor-

o ∼

2

|a| |x|

diamo che = p e = p. Ora A := Aut(hai) =

∼

)

Aut(C C ha esattamente un p-Sylow, quin-

=

2 2 −p

p p x 1+p

hxi

di è il p-Sylow di A, e a = a . Conosciamo

hai,

l’azione di x su quindi conosciamo il prodotto

hai hxi.

semidiretto o

(2) Ogni elemento non banale di G ha ordine p. Sia N un

|N |

sottogruppo normale massimale di G. Allora =

2

p a meno che ogni sottogruppo normale non banale

e proprio di G sia ciclico di ordine p, ma in questo

caso G dev’essere monolitico (non appena ammette

due sottogruppi normali di ordine p il loro prodotto

2

è normale di ordine p ) e questo è assurdo perché

2

G/N ha ordine p quindi deve ammettere sottogruppi

normali propri non banali. Segue che N ha ordine

∼

2

p ed ogni suo elemento ha ordine p, quindi N =

× ∈ −

C C . Ora è chiaro che se x G N allora

p p

hxi hxi,

è un complemento di N , quindi G = N o

hxi

e l’azione di è fedele altrimenti sarebbe banale

hxi

e G risulterebbe abeliano. è quindi un p-Sylow

∼

di Aut(N ) GL(2, p), dato che l’ordine di GL(2, p)

=

2

−

è p(p 1) (p + 1) e x ha ordine p. Quindi a meno

hxi

di passare ad un coniugato di in GL(2, p) (cioè

a meno di cambiare base di riferimento dello spazio

2

×

vettoriale C C = ) possiamo scrivere

F

p p p

1 1

∼ × h i.

G (C C )

= o

p p 0 1

Supponiamo p = 2. Allora esiste in G un elemento a di ordine

4 perché se tutti gli elementi non banali di G avessero ordine 2

allora G sarebbe abeliano (esercizio). Se esiste un complemen-

∼

hbi hai

to di in G allora b ha ordine 2 e siccome Aut(hai) C

= 2

l’azione di b su a è l’inversione (al solito a non può essere cen-

trale altrimenti G sarebbe abeliano), da cui segue subito che

46 1. GRUPPI

∼

G D , il gruppo diedrale di ordine 8.

= 8

Esiste un gruppo G di ordine 8 con un sottogruppo nor-

male, ciclico di ordine 4 e non complementato? Sı̀, ne esiste

esattamente uno a meno di isomorfismi, è il gruppo dei quater-

nioni. Si tratta del sottogruppo di GL(2, generato dagli

C)

elementi

i 0 0 1

a := , b := .

−i −1

0 0

hai, hbi, habi

Questo gruppo si denota con Q . sono massi-

8 h−1i

mali e quindi normali (Q è un 2-gruppo), e è il centro.

8

Non ci sono altri sottogruppi non banali, quindi in Q og-

8

ni sottogruppo è normale, e Q non è abeliano (per esempio

8

−ba).

ab = 9. Sottogruppi notevoli

16 (Sottogruppo di Frattini). Sia G un grup-

Definizione

po. Il sottogruppo di Frattini di G è l’intersezione dei sot-

togruppi massimali di G, e viene indicato con Φ(G).

Osserviamo che Φ(G) non è supplementato, in quanto

se H < G allora H è contenuto in un qualche sottogruppo

≤

massimale M e quindi Φ(G)H M .

9 (Argomento di Frattini). Siano G un

Proposizione

gruppo finito, N un suo sottogruppo normale, P un p-sottogruppo

di Sylow di N . Allora N (P ) supplementa N in G.

G g

∈

Dato g G, il coniugato P di P è un

Dimostrazione. ∈

p-sottogruppo di Sylow di N , quindi esiste n N tale che

−1

g h ∈ ∈ ⊆

P = P , ovvero gn N (P ). Ma allora g N (P )n

G G

N (P )N .

G Il sottogruppo di Frattini di un gruppo finito è nilpotente

(si vedano gli esercizi).

17 (Sottogruppo di Fitting). Sia G un grup-

Definizione |G|

po finito. Per ogni divisore primo p di definiamo O (G)

p

come l’intersezione dei p-sottogruppi di Sylow di G. Si trat-

ta di sottogruppi caratteristici di G. Il sottogruppo di Fitting

9. SOTTOGRUPPI NOTEVOLI 47

di G (denotato con F (G)) è il prodotto diretto interno degli

O (G).

p Osserviamo che F (G) è nilpotente in quanto gli O (G)

p

sono normali in F (G), e sono i suoi p-sottogruppi di Sylow. In

realtà, F (G) è il “più grande” sottogruppo normale nilpotente

di G: 10. Siano G un gruppo finito, N un suo

Proposizione ≤

sottogruppo normale nilpotente. Allora N F (G).

Poiché N è nilpotente, basta mostrare

Dimostrazione.

che ogni p-sottogruppo di Sylow di N è contenuto in F (G).

Sia P un p-Sylow di N . Allora P è caratteristico in N e N

è normale in G, quindi P G e quindi, dato un p-Sylow Q

E g g

⊆ ∈

di G contenente P , si ha P = P Q per ogni g G.

Siccome i p-Sylow di G sono a due a due coniugati, si ottiene

⊆ ⊆

che P O (G) F (G).

p

9.1. Fattori principali di Frattini. Osserviamo che un

sottogruppo normale minimale di G è in particolare un fattore

principale di G. Diciamo che un fattore principale H/K di G

⊆

è “Frattini” (o “di Frattini”) se H/K Φ(G/K). In caso

contrario H/K si dice “non-Frattini”.

1. Siano G un gruppo ed N un suo sot-

Osservazione

togruppo normale minimale abeliano. Allora i supplementi di

N in G sono complementi.

Sia M un supplemento di N in G. Allo-

Dimostrazione.

∩N

ra M è un sottogruppo normale di N (perché N è abeliano)

e di M (perché N è normale) e quindi di G essendo G = M N .

Siccome N non è contenuto in M ed è normale minimale si

∩

ottiene M N = 1.

11. Se N è un sottogruppo normale mini-

Proposizione

male di un gruppo finito G, si hanno i seguenti fatti:

(1) Se N è Frattini allora è abeliano.

(2) Se N è abeliano allora è complementato se e solo se

è non-Frattini.

48 1. GRUPPI

Dimostrazione.

(1) Il Frattini in quanto nilpotente non può contenere

sottogruppi semplici non abeliani.

(2) Se N è non-Frattini allora esiste un massimale che

non lo contiene, quindi lo supplementa, quindi lo

complementa (per l’osservazione 1); viceversa se N è