Concetti Chiave
- Il triangolo è una figura geometrica semplice ma ricca di proprietà e peculiarità, oggetto di studio da oltre 4000 anni, con radici che risalgono alla civiltà babilonese ed egizia.
- Il teorema di Morley, scoperto nel 1900, dimostra che le trisettrici di un triangolo formano un triangolo equilatero, collegando geometria proiettiva e metrica.
- Nonostante la semplicità apparente, la dimostrazione del teorema di Morley ha richiesto oltre un decennio per una versione elementare, sottolineando la complessità della geometria.
- Il teorema di Erdos-Mordell stabilisce una relazione tra le distanze di un punto all'interno di un triangolo e i suoi lati, dimostrato in forma elementare solo nel 1945.
- Il libro offre un'ampia raccolta delle proprietà del triangolo e una breve storia della geometria e trigonometria, utile per appassionati, insegnanti e studenti con formazione scolastica superiore.
| Michele T. Mazzucato, Triangoli Piani e loro risoluzione , Libreria Clup, 2005  Introduzione
Se disegni un punto su un foglio, non ci fai granché: in fondo i punti sono tutti uguali. Se ne disegni due, ottieni un segmento. Se disegni tre punti, hai un triangolo: una figura geometrica così semplice e così incredibilmente ricca di proprietà e stranezze, che gli uomini studiano ormai da tempi immemorabili. Uno degli ultimi teoremi notevoli sul triangolo è stato ottenuto nel 1900 dall'americano Frank Morley: dette trisettrici le due semirette che dividono un angolo in tre parti uguali, si ha che le trisettrici di un triangolo qualunque si incontrano in modo da formare un triangolo equilatero. http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml Il teorema risulta particolarmente interessante non solo perché esprime una proprietà semplice da esporre, comprensibile anche a studenti della scuola secondaria di primo grado, ma soprattutto perché esprime un legame inatteso tra le proprietà della semplice appartenenza di punti e rette (geometria proiettiva) e quelle che richiedono l'uso delle misure (geometria metrica): disegnare un triangolo qualsiasi richiede infatti solo la condizione che i lati congiungano i vertici, costruire un triangolo equilatero richiede invece la possibilità di misurare le lunghezze dei lati per verificarne la congruenza. Il risultato di Morley non è un caso isolato, ancora più recentemente è stato dimostrato il teorema di Erdos-Mordell, esposto in forma di problema da Erdos nel 1935 è dimostrato da Mordell nel 1937: in un triangolo qualunque la somma delle distanze di un punto P qualunque dai vertici è maggiore o uguale al doppio della somma delle distanze del punto P dai lati. Anche in questo caso la dimostrazione iniziale non è stata ottenuta con gli strumenti della geometria elementare; una dimostrazione elementare è stata trovata soltanto nel 1945 e attualmente si cercano ancora dimostrazioni semplici e facilmente comprensibili. Tra i punti notevoli del triangolo ricordo infine il punto di Clowson (1881-1964) e il punto di Schiffler (1896-1986) che sono apparsi in pubblicazioni recenti. La geometria del triangolo evidentemente non è stata ancora scritta completamente; c'è ancora posto, probabilmente, per nuove e interessanti scoperte. Il computer può oggi aiutare appassionati e studiosi di professione verso nuove scoperte nella geometria elementare? La questione non è semplice. Se gli strumenti di calcolo permettono di cercare nell'insieme dei numeri interi nuove congetture o scoprire nuovi numeri primi, nel campo della geometria la questione è più complessa. Nell'ultimo decennio si vanno affermando software come Cabri Géometre che aiutano in modo eccellente a visualizzare e verificare alcune proprietà geometriche. Si tratta ovviamente di verifiche più o meno sperimentali che possono aiutare a formulare congetture ma che non aiutano ad ottenere dimostrazioni.
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Domande da interrogazione
- Qual è l'importanza del teorema di Morley nel contesto della geometria del triangolo?
- Quali sono alcune delle scoperte recenti nella geometria del triangolo menzionate nel testo?
- In che modo i computer possono contribuire alla scoperta di nuove proprietà geometriche?
- Qual è l'obiettivo principale del libro "Triangoli Piani e loro risoluzione"?
- Perché la geometria del triangolo è ancora un campo di studio attivo?
Il teorema di Morley è significativo perché rivela un legame inatteso tra la geometria proiettiva e la geometria metrica, dimostrando che le trisettrici di un triangolo qualsiasi formano un triangolo equilatero. Questo teorema ha generato numerosi studi e corollari, dimostrando la sua fecondità.
Il testo menziona il teorema di Erdos-Mordell, dimostrato nel 1937, e i punti notevoli del triangolo come il punto di Clowson e il punto di Schiffler, che sono stati oggetto di pubblicazioni recenti.
I computer, attraverso software come Cabri Géometre, possono aiutare a visualizzare e verificare proprietà geometriche, facilitando la formulazione di congetture. Tuttavia, non forniscono dimostrazioni definitive.
Il libro mira a raccogliere e catalogare le principali proprietà del triangolo, offrendo una breve storia della geometria del triangolo e della trigonometria, senza includere le dimostrazioni dei teoremi, rendendolo accessibile a studenti e appassionati di matematica.
La geometria del triangolo è ancora attiva perché, nonostante secoli di studio, continuano a emergere nuove scoperte e teoremi, suggerendo che ci sono ancora molte proprietà da esplorare e comprendere.
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