Concetti Chiave
- Il libro esplora il significato delle geometrie non euclidee attraverso un'analisi storica e metodologica.
- L'opera descrive l'evoluzione dalla geometria euclidea a sistemi matematici logicamente validi ma controintuitivi.
- Si analizza il V postulato di Euclide e le sue dimostrazioni, che conducono a molte proposizioni equivalenti.
- La geometria iperbolica segna il passaggio dalla logica classica alla matematica moderna, confrontando Euclide e Hilbert.
- Include modelli di geometria iperbolica di Klein e Poincaré e l'uso di software didattici per un apprendimento più intuitivo.
| F. BERTOLINI, Geometrie: dall'evidenza alla coerenza DPS edizioni Il testo intende offrire un percorso metodologico, utile per comprendere il significato della scoperta delle geometrie non euclidee, attraverso l'analisi dell'origine e delle conseguenze della rivoluzione culturale, che è seguita all'introduzione dei nuovi sistemi geometrici. Sviluppo delle idee geometricheDescrive lo sviluppo delle idee che ha portato dalla geometria euclidea, di per sé evidente, ad altri sistemi matematici validi logicamente, anche se contrari all'evidenza e all'intuizione. Ruolo del V postulatoL'approccio storico permette di considerare gli Elementi di Euclide e di analizzare il ruolo del V postulato, considerato già meno evidente dallo stesso autore. Sono descritti alcuni tentativi di dimostrazione di tale assioma e che porteranno, invece, ad una raccolta di numerose proposizioni equivalenti.Nascita della geometria iperbolica La nascita e l'accettazione della geometria iperbolica determinerà lo scisma tra forma logica e contenuto empirico di una teoria, permettendo così la nascita della matematica moderna. Modelli di Klein e PoincaréNel testo sono indicati accuratamente i modelli di Klein e di Poincaré della geometria iperbolica e vengono in essi effettuate, con gli strumenti dell'analisi di quinta liceo scientifico, dimostrazioni analitiche di proprietà geometriche, dimostrate precedentemente in modo sintetico. Altre geometrie non euclideeNon si tralasciano le altre geometrie non euclidee elementari: la sferica e l'ellittica, introdotte modificando opportunamente alcuni assiomi euclidei. Utilizzo di software didatticoIl testo si completa con l'indicazione dell'utilizzo di software didattico, in grado di rappresentare le figure e le proprietà della geometria iperbolica, in modo tale da superare il blocco psicologico inevitabile quando si ha un primo approccio con sistemi non intuitivi. F. Bertolini |
Il confronto tra l'impostazione assiomatica classica e quella moderna è condotto attraverso l'evoluzione del pensiero matematico da Euclide a Hilbert.
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