IL PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Oggi parleremo del principio della termodinamica, e per lo più ci occuperemo di eseguire il seguente problema:

Un grammo di aria a

[math]275°C[/math]
si espande adiabaticamente fino a
[math]5[math] volte il suo volume. Calcolare il lavoro compiuto nell'espansione assumendo che l'aria si comporti come un gas ideale (per l'aria [math]γ=\frac{C_{p}}{C_{v}}=1,40[/math]
; costante dei gas per
[math]1g[/math]
di aria
[math]r=2,88*10^{6}\ erg\ °C^{-1}[/math]
).

Per un'espansione adiabatica, vale la relazione:


[math]TV^{γ-1}=costante\ =>\ T_{1}V_{1}^{γ-1}=T_{2}V_{2}^{γ-1}\ =>\ T_{2}=T_{1}(\frac{V_{1}}{V_{2}})^{γ-1}[/math]

A questo punto possiamo inserire i dati numerici, sappiamo che:


Quindi avremo:


[math]548(\frac{1}{5})^{0,40}=548*(0,20)^{0,40}=548*0,525k=\ 288k[/math]

Con l'espansione adiabatica fino a

[math]5[/math]
volte il suo volume, la temperatura scende da
[math]548k \to 288k[/math]
.
Ora per una trasformazione adiabatica sappiamo che
[math]δq=0[/math]
, pertanto il primo principio della termodinamica diventa:
[math]δq=0\ =>\ δl=φu=(\frac{φu}{φT})_{V}φT+(\frac{φu}{φV})_{T}φV=\ ρφV[/math]

Ma per un gas perfetto, l'energia interna sappiamo che dipende soltanto dalla temperatura, pertanto questo termine:

[math](\frac{φu}{φV})_{T}φV[/math]
è nullo. In conclusione noi possiamo scrivere che:
[math]=>\ ρφV= (\frac{φu}{φT})_{V}φT=\ c_{υ}φT[/math]

Dove:

[math]c_{υ} \to[/math]
calore volare

Per calcolare il lavoro, quindi, abbiamo bisogno di conoscere

[math]c_{υ}[/math]
. Quello che il testo ci fornisce è
[math]γ[/math]
ma ci fornisce anche
[math]r[/math]
e noi sappiamo che:


[math]r[/math]
è noto,
[math]γ=\frac{C_{ρ}}{C_{υ}}[/math]
è noto, pertanto noi possiamo lavorare analiticamente per ottenere
[math]C_{υ}[/math]
e precisamente scriviamo:
[math]C_{ρ}-C_{υ}=r[/math]

Se dividiamo tutti i termini di questa equazione per

[math]C_{υ}[/math]
, abbiamo:
[math]C_{ρ}-C_{υ}=r\ =>\ \frac{C_{ρ}}{C_{υ}}-1=\frac{r}{C_{υ}}\ =>\ γ-1=\frac{r}{C_{υ}}=>\ C_{υ}=\frac{r}{γ-1}[/math]

Ora possiamo inserire i dati numerici che ci fornisce l'esercizio:


[math]C_{υ}=\frac{2,88*10^{6}}{0,4}\ erg\ °C^{-1}=7,2*10^{6}\ erg\ °C^{-1}[/math]

E questo è il calore molare a volume costante. Ora per il lavoro che l'esercizio ci chiede di calcolare cioè

[math]ρ[/math]
e
[math]υ[/math]
. Quindi avremo che:
[math]L=ρφV=C_{υ} \int_{T_{1}}^{T_{2}} φT=\ 7,2+10^{6}(288-548)erg=\\
\\
=\ -1,87*10^{9}\ erg=-187\ J[/math]
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