Moto di rotolamento

Appunto di fisica in cui si parla del moto di rotolamento di un corpo, solamente teoria, ma vengono comunque formulate tutte le formule necessarie per svolgere gli esercizi.

marziomelis26
di marziomelis26
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Concetti Chiave

  • Il momento angolare è una grandezza vettoriale definita dal prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la quantità di moto, ed è perpendicolare al piano formato da questi due vettori.
  • Il modulo del momento angolare raggiunge il suo massimo quando il vettore quantità di moto è perpendicolare al vettore posizione, come nel caso del moto circolare.
  • Il momento torcente, o momento di una forza, si calcola come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza applicata, ed è influenzato dalla distanza dal polo di rotazione.
  • Il braccio, definito come la distanza tra il polo di rotazione e la retta d'azione dei vettori forza o momento angolare, influisce sul calcolo del momento torcente e del momento angolare.
  • La seconda legge di Newton in termini di momento angolare afferma che la variazione del momento angolare rispetto a un punto fisso è pari al momento torcente risultante misurato in quel punto.

Indice

  1. Il momento angolare
  2. Il momento torcente
  3. La seconda legge di Newton, in termini di momento angolare

Il momento angolare

Si può dire che un corpo, di massa
[math]m[/math]
ha un momento angolare quando esso si muove con una certa velocità lungo una retta che non passa per il punto di riferimento, dunque, quando il punto di riferimento è esterno alla retta.
Il momento angolare è una grandezza vettoriale e si definisce come il prodotto vettoriale di
[math]\vec{r}[/math]
e
[math]\vec{p}[/math]
, (dove
[math]\vec{r}[/math]
è il vettore posizione e
[math]\vec{p}[/math]
è la quantità di moto).
In formule:

[math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math]

NB:
–

[math]\vec{L}[/math]
è perpendicolare al piano formato da
[math]\vec{r},\vec{p}[/math]
.
– il momento angolare si misura in
[math]kg\ m^2/s[/math]
.
– il punto di applicazione di
[math]\vec{L}[/math]
è quello nel quale è definito il momento angolare, dunque l'origine di
[math]\vec{r}[/math]
.

Per quanto riguarda il modulo di

[math]\vec{L}[/math]
, esso si calcola con la seguente formula:

[math]L =|\vec{L}|= |\vec{r}|\cdot|\vec{p}|\cdot\sin\theta[/math]

essendo

[math]\theta[/math]
l'angolo tra i due vettori. Il modulo di
[math]\vec{L}[/math]
ha valore massimo quando
[math]\vec{p}[/math]
è perpendicolare ad
[math]\vec{r}[/math]
, dunque quando
[math]\theta =90^\circ[/math]
, come nel moto circolare. In tal caso, abbiamo:

[math]L = rp = rmv[/math]

Il momento angolare è invece nullo quando l'angolo è pari a

[math]0^\circ[/math]
o a
[math]180^\circ[/math]
, vale a dire quando i due vettori sono paralleli o antiparalleli.

Il momento torcente

Esso viene indicato con la lettera

[math]M[/math]
, e può essere chiamato anche “momento di una forza”. Si definisce come il prodotto vettoriale di
[math]\vec{r}[/math]
e la forza agente sul corpo,
[math]\vec{F}[/math]
:

[math]\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}[/math]

Per calcolare il modulo, utilizziamo invece la formula:

[math]M =|\vec{M}|=|\vec{r}|\cdot|\vec{F}|\cdot\sin\theta[/math]

NB:
–

[math]θ[/math]
è l'angolo formato da
[math]\vec{r}[/math]
ed
[math]\vec{F}[/math]
–
[math]\vec{F}[/math]
è la forza applicata nel punto individuato da
[math]\vec{r}[/math]

La distanza tra l'origine

[math]O[/math]
, detto polo di rotazione e la retta di azione dei vettori Forza o momento angolare viene detto braccio, e si definisce al modo seguente:

[math]b = r\cdot\sin\theta[/math]

Da quest'ultima relazione, possiamo ricavare la seguente formula per il momento angolare

[math]L = bp[/math]

Analogamente, possiamo modificare la formula per il momento torcente:

[math]M = bF[/math]

La seconda legge di Newton, in termini di momento angolare

Dalla relazione

[math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math]
segue che
[math]\Delta\vec{L}[/math]
sarà definito come una variazione di
[math]r[/math]
oppure di
[math]p[/math]
. Si dimostra che:

[math]\Delta\vec{L} = \Delta\vec{r}\times\vec{p} + \vec{r}\times\Delta\vec{p}[/math]

Dividendo tutto per

[math]\Delta t[/math]
, per conoscere la variazione nel tempo:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\times\vec{p} +
\vec{r}\times\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}[/math]

D'altra parte

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\vec{v},
\qquad \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}=\sum\vec{F}[/math]

per cui possiamo scrivere:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \vec{v}\times\vec{p} +
\vec{r}\times\sum\vec{F}[/math]

Osserviamo adesso che

[math]\vec{v}\times\vec{p}=\vec{v}\times m\vec{v}=\vec{0}[/math]

In aggiunta

[math]\vec{r}\times\sum\vec{F}=\sum\vec{M}[/math]
è il momento torcente risultante.
Infine possiamo dunque scrivere:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t}=\sum\vec{M}[/math]

In parole, questa formula mette in relazione momento angolare e torcente, affermando che la variazione del momento angolare rispetto ad un certo punto fisso è pari al momento torcente risultante, misurato in quel punto.

Domande da interrogazione

  1. Che cos'è il momento angolare e come si calcola?

    2. Il momento angolare è una grandezza vettoriale definita come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione [math]\vec{r}[/math] e la quantità di moto [math]\vec{p}[/math]. Si calcola con la formula [math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math] e il suo modulo è dato da [math]L =|\vec{r}|\cdot|\vec{p}|\cdot\sin\theta[/math].

  2. Come si definisce il momento torcente e qual è la sua formula?

    3. Il momento torcente, indicato con [math]M[/math], è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione [math]\vec{r}[/math] e la forza [math]\vec{F}[/math] applicata. La formula per calcolare il modulo è [math]M =|\vec{r}|\cdot|\vec{F}|\cdot\sin\theta[/math].

  3. Qual è la relazione tra il momento angolare e il momento torcente secondo la seconda legge di Newton?

    4. La seconda legge di Newton in termini di momento angolare afferma che la variazione del momento angolare rispetto a un punto fisso è pari al momento torcente risultante misurato in quel punto, espressa dalla formula [math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t}=\sum\vec{M}[/math].

  4. Quando il momento angolare è massimo e quando è nullo?

    5. Il momento angolare è massimo quando il vettore quantità di moto [math]\vec{p}[/math] è perpendicolare al vettore posizione [math]\vec{r}[/math], cioè quando [math]\theta =90^\circ[/math]. È nullo quando i due vettori sono paralleli o antiparalleli, cioè quando [math]\theta =0^\circ[/math] o [math]180^\circ[/math].

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