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Il momento angolare


Si può dire che un corpo, di massa
[math]m[/math]
ha un momento angolare quando esso si muove con una certa velocità lungo una retta che non passa per il punto di riferimento, dunque, quando il punto di riferimento è esterno alla retta.
Il momento angolare è una grandezza vettoriale e si definisce come il prodotto vettoriale di
[math]\vec{r}[/math]
e
[math]\vec{p}[/math]
, (dove
[math]\vec{r}[/math]
è il vettore posizione e
[math]\vec{p}[/math]
è la quantità di moto).

In formule:

[math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math]

NB:
[math]\vec{L}[/math]
è perpendicolare al piano formato da
[math]\vec{r},\vec{p}[/math]
.
– il momento angolare si misura in
[math]kg\ m^2/s[/math]
.
– il punto di applicazione di
[math]\vec{L}[/math]
è quello nel quale è definito il momento angolare, dunque l'origine di
[math]\vec{r}[/math]
.
Per quanto riguarda il modulo di
[math]\vec{L}[/math]
, esso si calcola con la seguente formula:
[math]L =|\vec{L}|= |\vec{r}|\cdot|\vec{p}|\cdot\sin\theta[/math]

essendo
[math]\theta[/math]
l'angolo tra i due vettori. Il modulo di
[math]\vec{L}[/math]
ha valore massimo quando
[math]\vec{p}[/math]
è perpendicolare ad
[math]\vec{r}[/math]
, dunque quando
[math]\theta =90^\circ[/math]
, come nel moto circolare. In tal caso, abbiamo:
[math]L = rp = rmv[/math]

Il momento angolare è invece nullo quando l'angolo è pari a
[math]0^\circ[/math]
o a
[math]180^\circ[/math]
, vale a dire quando i due vettori sono paralleli o antiparalleli.

Il momento torcente


Esso viene indicato con la lettera
[math]M[/math]
, e può essere chiamato anche “momento di una forza”. Si definisce come il prodotto vettoriale di
[math]\vec{r}[/math]
e la forza agente sul corpo,
[math]\vec{F}[/math]
:
[math]\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}[/math]

Per calcolare il modulo, utilizziamo invece la formula:

[math]M =|\vec{M}|=|\vec{r}|\cdot|\vec{F}|\cdot\sin\theta[/math]

NB:
[math]θ[/math]
è l'angolo formato da
[math]\vec{r}[/math]
ed
[math]\vec{F}[/math]
[math]\vec{F}[/math]
è la forza applicata nel punto individuato da
[math]\vec{r}[/math]

La distanza tra l'origine
[math]O[/math]
, detto polo di rotazione e la retta di azione dei vettori Forza o momento angolare viene detto braccio, e si definisce al modo seguente:
[math]b = r\cdot\sin\theta[/math]

Da quest'ultima relazione, possiamo ricavare la seguente formula per il momento angolare

[math]L = bp[/math]

Analogamente, possiamo modificare la formula per il momento torcente:

[math]M = bF[/math]

La seconda legge di Newton, in termini di momento angolare


Dalla relazione
[math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math]
segue che
[math]\Delta\vec{L}[/math]
sarà definito come una variazione di
[math]r[/math]
oppure di
[math]p[/math]
. Si dimostra che:
[math]\Delta\vec{L} = \Delta\vec{r}\times\vec{p} + \vec{r}\times\Delta\vec{p}[/math]

Dividendo tutto per
[math]\Delta t[/math]
, per conoscere la variazione nel tempo:
[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\times\vec{p} +
\vec{r}\times\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}[/math]

D'altra parte

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\vec{v},
\qquad \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}=\sum\vec{F}[/math]

per cui possiamo scrivere:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \vec{v}\times\vec{p} +
\vec{r}\times\sum\vec{F}[/math]

Osserviamo adesso che

[math]\vec{v}\times\vec{p}=\vec{v}\times m\vec{v}=\vec{0}[/math]

In aggiunta
[math]\vec{r}\times\sum\vec{F}=\sum\vec{M}[/math]
è il momento torcente risultante.
Infine possiamo dunque scrivere:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t}=\sum\vec{M}[/math]

In parole, questa formula mette in relazione momento angolare e torcente, affermando che la variazione del momento angolare rispetto ad un certo punto fisso è pari al momento torcente risultante, misurato in quel punto.
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