Moto di rotolamento

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di marziomelis26
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Esplora il moto di rotolamento in fisica, analizzando il momento angolare e le sue formule. Scopri la relazione tra grandezza vettoriale, modulo e momento torcente, fondamentali per comprendere e risolvere esercizi pratici in questo ambito.

Concetti Chiave

  • Il momento angolare è una grandezza vettoriale calcolata come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la quantità di moto, rappresentato dalla formula L = r × p.
  • Il modulo del momento angolare raggiunge il massimo quando i vettori posizione e quantità di moto sono perpendicolari, con un valore nullo quando sono paralleli o antiparalleli.
  • Il momento torcente, indicato con M, è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione e la forza applicata, e il suo modulo può essere calcolato con M = r × F.
  • La distanza tra l'origine e la retta di azione dei vettori forza o momento angolare è chiamata braccio, calcolata come b = r × sin(θ).
  • La seconda legge di Newton, espressa in termini di momento angolare, stabilisce che la variazione del momento angolare nel tempo è pari al momento torcente risultante.

Indice

  1. Il momento angolare
  2. Il momento torcente
  3. La seconda legge di Newton, in termini di momento angolare

Il momento angolare

Si può dire che un corpo, di massa
[math]m[/math]
ha un momento angolare quando esso si muove con una certa velocità lungo una retta che non passa per il punto di riferimento, dunque, quando il punto di riferimento è esterno alla retta.
Il momento angolare è una grandezza vettoriale e si definisce come il prodotto vettoriale di
[math]\vec{r}[/math]
e
[math]\vec{p}[/math]
, (dove
[math]\vec{r}[/math]
è il vettore posizione e
[math]\vec{p}[/math]
è la quantità di moto).
In formule:

[math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math]

NB:
–

[math]\vec{L}[/math]
è perpendicolare al piano formato da
[math]\vec{r},\vec{p}[/math]
.
– il momento angolare si misura in
[math]kg\ m^2/s[/math]
.
– il punto di applicazione di
[math]\vec{L}[/math]
è quello nel quale è definito il momento angolare, dunque l'origine di
[math]\vec{r}[/math]
.

Per quanto riguarda il modulo di

[math]\vec{L}[/math]
, esso si calcola con la seguente formula:

[math]L =|\vec{L}|= |\vec{r}|\cdot|\vec{p}|\cdot\sin\theta[/math]

essendo

[math]\theta[/math]
l'angolo tra i due vettori. Il modulo di
[math]\vec{L}[/math]
ha valore massimo quando
[math]\vec{p}[/math]
è perpendicolare ad
[math]\vec{r}[/math]
, dunque quando
[math]\theta =90^\circ[/math]
, come nel moto circolare. In tal caso, abbiamo:

[math]L = rp = rmv[/math]

Il momento angolare è invece nullo quando l'angolo è pari a

[math]0^\circ[/math]
o a
[math]180^\circ[/math]
, vale a dire quando i due vettori sono paralleli o antiparalleli.

Il momento torcente

Esso viene indicato con la lettera

[math]M[/math]
, e può essere chiamato anche “momento di una forza”. Si definisce come il prodotto vettoriale di
[math]\vec{r}[/math]
e la forza agente sul corpo,
[math]\vec{F}[/math]
:

[math]\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}[/math]

Per calcolare il modulo, utilizziamo invece la formula:

[math]M =|\vec{M}|=|\vec{r}|\cdot|\vec{F}|\cdot\sin\theta[/math]

NB:
–

[math]θ[/math]
è l'angolo formato da
[math]\vec{r}[/math]
ed
[math]\vec{F}[/math]
–
[math]\vec{F}[/math]
è la forza applicata nel punto individuato da
[math]\vec{r}[/math]

La distanza tra l'origine

[math]O[/math]
, detto polo di rotazione e la retta di azione dei vettori Forza o momento angolare viene detto braccio, e si definisce al modo seguente:

[math]b = r\cdot\sin\theta[/math]

Da quest'ultima relazione, possiamo ricavare la seguente formula per il momento angolare

[math]L = bp[/math]

Analogamente, possiamo modificare la formula per il momento torcente:

[math]M = bF[/math]

La seconda legge di Newton, in termini di momento angolare

Dalla relazione

[math]\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}[/math]
segue che
[math]\Delta\vec{L}[/math]
sarà definito come una variazione di
[math]r[/math]
oppure di
[math]p[/math]
. Si dimostra che:

[math]\Delta\vec{L} = \Delta\vec{r}\times\vec{p} + \vec{r}\times\Delta\vec{p}[/math]

Dividendo tutto per

[math]\Delta t[/math]
, per conoscere la variazione nel tempo:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\times\vec{p} +
\vec{r}\times\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}[/math]

D'altra parte

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\vec{v},
\qquad \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}=\sum\vec{F}[/math]

per cui possiamo scrivere:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \vec{v}\times\vec{p} +
\vec{r}\times\sum\vec{F}[/math]

Osserviamo adesso che

[math]\vec{v}\times\vec{p}=\vec{v}\times m\vec{v}=\vec{0}[/math]

In aggiunta

[math]\vec{r}\times\sum\vec{F}=\sum\vec{M}[/math]
è il momento torcente risultante.
Infine possiamo dunque scrivere:

[math]\displaystyle\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t}=\sum\vec{M}[/math]

In parole, questa formula mette in relazione momento angolare e torcente, affermando che la variazione del momento angolare rispetto ad un certo punto fisso è pari al momento torcente risultante, misurato in quel punto.

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Cos'è il momento angolare e come si calcola?

    2. Il momento angolare è una grandezza vettoriale definita come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione \(\vec{r}\) e la quantità di moto \(\vec{p}\), espresso dalla formula \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\). Il suo modulo si calcola con \(L = |\vec{r}| \cdot |\vec{p}| \cdot \sin\theta\), dove \(\theta\) è l'angolo tra i due vettori.

  2. Quando il momento angolare è nullo?

    3. Il momento angolare è nullo quando l'angolo \(\theta\) è pari a \(0^\circ\) o \(180^\circ\), cioè quando i vettori \(\vec{r}\) e \(\vec{p}\) sono paralleli o antiparalleli.

  3. Come si definisce il momento torcente e qual è la sua formula?

    4. Il momento torcente, indicato con \(\vec{M}\), è definito come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione \(\vec{r}\) e la forza \(\vec{F}\) applicata, espresso dalla formula \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\). Il suo modulo si calcola con \(M = |\vec{r}| \cdot |\vec{F}| \cdot \sin\theta\).

  4. Qual è la relazione tra momento angolare e momento torcente secondo la seconda legge di Newton?

    5. La variazione del momento angolare nel tempo è pari al momento torcente risultante, espressa dalla formula \(\frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t} = \sum\vec{M}\). Questo stabilisce un legame diretto tra il momento angolare e il momento torcente misurato in un punto fisso.

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