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Lavoro della forza elettrica per spostare una carica di prova

In un condensatore piano

Consideriamo un condensatore piano e posizioniamo una carica di prova molto vicino alla lastra carica positivamente. La carica viene attratta da quella negativa e respinta da quella positiva compiendo un lavoro, che andremo a calcolare:
L_AB=Fel∙(AB) ̅∙cos0°=Fel∙(AB) ̅=Fel∙d
E=Fel/q_0 →Fel=E∙q_0
L_AB=E∙q_0∙d


Consideriamo di far spostare la carica di prova secondo un percorso differente: la carica di prova si sposta da A a C, da C a B, grazie all’intervento di una forza esterna.
L_AB=L_AC+L_CB
Il vettore Fel è rivolto sempre verso il basso, quindi, in A forma con il vettore spostamento un angolo α, e in C un angolo si 90°. Andando a sviluppare i calcoli:

L_AB=Fel∙(AC) ̅∙cosα+Fel∙(AC) ̅∙cos90
Se osserviamo il triangolo (ACB) ̂ possiamo notare che il cateto AB è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente.
(AB) ̅=(AC) ̅∙cosα→L_AB=Fel∙AB
L_AB=E∙q_0∙d
Sia se lasciamo la carica di prova libera di muoversi dalla posizione A alla posizione B, e sia se la spostiamo da A a B attraverso l’ausilio di una forza esterna, deviandone il percorso, notiamo che il lavor compiuto è sempre lo stesso.
Possiamo affermare che nel caso di un consensatore piano, il lavoro compiuto dalla forza elettrica non dipende dal percorso, ma dalla posizione iniziale e quella finale assunta dalla carica di prova.
Ciò ci permette di dire che la forza elettrica è conservativa.

In un campo generato da una carica puntiforme

Consideriamo una carica puntiforme Q che genera un campo elettrico. Poniamo una carica di prova, e vedremo che questa si sposterà da A a B; inoltre, il campo elettrico sarà uniforme. Considerando il lavoro compiuto dalla forza elettrica per spostare la carica di prova da A a B, questo sarà:
L_AB=Fel_media∙AB∙cos0
Consideriamo la Fel media perché man mano che ci allontaniamo dalla carica Q che ha generato il campo, la forza elettrica diminuisce perché, per la legge di Coulomb, è inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
L’angolo tra il vettore Fel e lo spostamento è 0° perché il campo elettrico generato dalla carica è diretto radialmente (è radiale) ed è quindi parallelo al vettore spostamento.
L_AB=Fel_media∙(r_B-r_A )=(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(r_B-r_A)/(r_A∙r_B )==(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(r_B/(r_A∙r_B )-r_A/(r_A∙r_B ))==(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(1/r_A -1/r_B )

L_AB=(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(1/r_A -1/r_B )
r_A∙r_B è la distanza media geometrica.
Consideriamo di far spostare la carica di prova secondo un percorso differente:
la carica di prova si sposta da A a C, da C a B, grazie all’intervento di una forza esterna.
Suddividiamo lo spostamento AC in tante parti tali da considerarsi segmenti rettilinei.
Bisognerebbe fare lo stesso per CB, ma sappiamo che la Fel ha la stessa intensità su tutti i punti della circonferenza ed è radiale, quindi, in ogni punto, è perpendicolare alla circonferenza. [le circonferenze sono superfici equipotenziali].
L_AB=L_AC+L_BC=L_AD+L_DE+L_EF+L_FC+L_CB==F_AD∙AD∙cos90+F_DE∙DE∙cos0+F_EF∙EF∙cos90+F_FC∙FC∙cos0+F_CB∙CB∙cos90==F_DE∙DE+F_FC∙FC==(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(r_E-r_D)/(r_D∙r_E )+(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(r_C-r_F)/(r_F∙r_C )==(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙((r_E-r_D)/(r_D∙r_E )+(r_C-r_F)/(r_F∙r_C ))
L_AB=(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(r_E/(r_D∙r_E )-r_D/(r_D∙r_E )+r_C/(r_F∙r_C )-r_F/(r_F∙r_C ))=(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(1/r_D -1/r_E +1/r_F -1/r_C )
r_D=r_D;r_c=r_B e r_E=r_F perché sono sulle stesse circonferenze concentriche a Q che ha generato il campo.
L_AB=(Q∙q_0)/(4πƐ_0 )∙(1/r_A -1/r_B )
Possiamo affermare che il lavoro compiuto dalla forza elettrica in un campo puntiforme non dipende dal percorso, ma dalla posizione iniziale e finale assunta dalla carica di prova.
Quindi, la forza elettrica in un campo generato da una carica puntiforme è conservativa.

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