Concetti Chiave
- Alpha Centauri, con una massa di 2,188 x 1030 kg e un diametro di 1,670,400 km, è la stella più vicina alla Terra situata a 4,3 anni-luce di distanza.
- Il raggio di Schwarzschild è il raggio per cui la velocità di fuga di un corpo celeste è uguale alla velocità della luce.
- La velocità di fuga è determinata dalla formula v = √(2GM/R), dove G è la costante di gravitazione universale.
- Per Alpha Centauri, il calcolo del raggio di Schwarzschild è puramente teorico, poiché la sua massa è troppo piccola per formare un buco nero.
- Il valore calcolato del raggio di Schwarzschild per Alpha Centauri è di 3,24 km, nonostante non possa realmente diventare un buco nero.
Testo dell'esercizio
Alpha centauri (avente massaCalcola il suo raggio di Schwarzschild.
(Il calcolo ha valore solo matematico, poiché in realtà, Alpha Centauri ha una massa troppo piccola per diventare un buco nero)
Svolgimento dell'esercizio
Per prima cosa, ricordiamo che cos’è il raggio di Schwarzschild.Se un corpo celeste mantiene invariata la sua massa ma il suo raggio diminuisce (come accade per esempio nel caso di una stella che sta esaurendo il suo combustibile), la velocità di fuga da esso aumenta.
La velocità di fuga, cioè la velocità minima che permette di sfuggire all’attrazione di un pianeta e di giungere a distanza infinita con velocità nulla, è data dalla formula:
Se, però, il raggio continua a diminuire la velocità aumenta fino a raggiungere la velocità della luce, potendo perfino superarla.
Poiché, però, secondo la teoria della relatività di Einstein stabilisce che nessun oggetto può muoversi a velocità maggiore di quella della luce, è impossibile che un oggetto possa allontanarsi da questo corpo celeste, che si è trasformato in un buco nero.
Riassumendo, quindi, il valore di R per cui, dato un corpo celeste di massa
Trasformiamo i dati fornitici dal problema nelle giuste unità di misura:
Sappiamo che
La velocità della luce, corrispondente in questo caso v, cioè alla velocità di fuga, vale
Ricaviamo il raggio dalla formula della velocità di fuga:
Determiniamo il valore di
Domande da interrogazione
- Che cos'è il raggio di Schwarzschild e come si calcola?
- Quali sono i dati necessari per calcolare il raggio di Schwarzschild di Alpha Centauri?
- Qual è il valore del raggio di Schwarzschild calcolato per Alpha Centauri?
Il raggio di Schwarzschild è il valore del raggio per cui la velocità di fuga da un corpo celeste di massa M è uguale alla velocità della luce. Si calcola con la formula \( R = \frac{2 GM}{v^2} \).
I dati necessari includono la massa di Alpha Centauri \( m = 2,188 \cdot 10^{30} kg \), la costante di gravitazione universale \( G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2} \), e la velocità della luce \( v = 3,00 \cdot 10^8 m/s \).
Il raggio di Schwarzschild calcolato per Alpha Centauri è \( 3,24 km/s \), anche se questo valore ha solo un significato matematico poiché la massa di Alpha Centauri è troppo piccola per diventare un buco nero.
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