Geometrie non euclidee: Implicazioni filosofiche e applicazioni fisiche

Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche

Implicazioni filosofiche

Applicazioni fisiche

Davide Ragazzi, M. C. Escher, Balconata

Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche

Indice

Pag.

• Introduzione 4
• Premessa 5
• Genesi della geometria 8
• Geometria euclidea 10
• Euclide 10
• Gli elementi 11
• Definizioni 11
• Nozioni 12
• Postulati 13
• Proposizioni 14
• Ragionando sulla geometria euclidea 15
• Quinto postulato 15
• Anomalie 15
• Dibattito 19
• Girolamo Saccheri 22
• Quadrilatero 22
• Angolo ottuso 25
• Angolo acuto 26
• Tipologie rette 27
• Coerenza 31

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Davide Ragazzi

Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

• Geometrie non euclidee 32
• Introduzione storica 32
• Geometria iperbolica 36
• Elementi 36
• Basi concettuali 36
• Triangoli iperbolici 37

Metodo dei modelli

39

• Klein 40
• Poincaré 41
• Coerenza 42
• Geometria sferica 43
• Elementi 43
• Teoremi 45
• Geometria ellittica 46
• Rappresentazione 46
• Considerazioni conclusive 48
• Implicazioni filosofiche: Immanuel Kant 51

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Davide Ragazzi

Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

• Applicazioni fisiche: relatività 53
• Principio di relatività galileiana 54
• Principio di relatività ristretta 56
• Spazio-tempo a 4 dimensioni 57
• Paradosso dei gemelli 57
• Equivalenza energia-massa 58
• Principio di relatività generale 58
• Spazio-tempo curvo 60
• Conclusione 62
• Bibliografia / Sitografia 63

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Davide Ragazzi

Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

Introduzione

Quando la rassicurante certezza della geometria di Euclide ha lasciato spazio ai dubbi e alle provocazioni di geometrie che parevano negare l’evidenza stessa della realtà quotidiana, incuriosito, ho iniziato una personale ricerca sull’argomento.

Da questi approfondimenti nasce il lavoro che intendo presentare, che vede come protagonista le geometrie non euclidee impegnate in un confronto con la filosofia e con la fisica, nella teoria della relatività.

Inizio riprendendo il concetto di geometria in generale, risalendo alla sua nascita naturale ed empirica, fino ad arrivare alla geometria euclidea descritta e delineata ne Gli elementi di Euclide.

La geometria è una scienza matematica, e come tale è strutturata in un sistema assiomatico, cioè formata da assiomi, proposizioni indimostrate date per vere, da cui si ricavano i teoremi.

Seguendo cronologicamente la storia degli eventi, ho messo in risalto le problematiche sorte dall’analisi minuziosa dell’opera di Euclide. I problemi maggiori riguardano il quinto postulato delle rette parallele. Molti lo considerarono un “falso” postulato cercandone la dimostrazione senza riuscirvi.

Gauss formula i primi concetti delle geometrie non euclidee. I suoi scritti non li pubblicherà mai perché contrastanti con le idee filosofiche kantiane predominanti in quel periodo. Anche se, per quel che ho potuto capire, non credo che la filosofia di Kant escluda a priori l’esistenza di geometrie diverse da quella classica.

Successivamente passo ad analizzare la geometria iperbolica, la geometria sferica e la geometria ellittica, concludendo con una breve digressione filosofica e con un approfondimento sulla relatività.

Le geometrie non euclidee, insieme alla teoria della relatività, hanno rappresentato un punto di svolta nei loro rispettivi ambiti: la geometria non euclidea per quanto riguarda la geometria e la teoria della relatività per la fisica.

La matematica può essere considerata una scienza, la geometria è una parte della matematica. Come ogni scienza la geometria ha una sua logica, un suo linguaggio e un suo contesto. Per una trattazione completa sarebbe stato opportuno utilizzare un linguaggio molto più tecnico. Ho invece preferito limitare l’utilizzo di formule a favore di una migliore leggibilità. Il linguaggio utilizzato vuole essere una sintesi tra il necessario rigore imposto dagli argomenti trattati e la finalità del lavoro svolto, anche se a volte non ci sono riuscito, in parte per limiti personali, in parte per i contenuti troppo specialistici.

Come spesso accade, la diversità si presta sempre a due approcci: il primo, più immediato e spesso veritiero, ci porta a bollare come fantascienza tutto ciò che mette in discussione le nostre certezze; il secondo, più sofferto e spesso ingannevole, ci accompagna in un viaggio dalla destinazione incerta. Fortunatamente è stato quest’ultimo a prevalere nello studio delle geometrie non euclidee. Esse, con cento anni di anticipo, hanno posto le basi alla crisi dei fondamenti della matematica degli inizi del ’900, distruggendo le idee di universalità e oggettività, ipocrite e false, lasciando lo spazio a concezioni meno ampie e assolutistiche, ma più coerenti e veritiere.

1 Questa crisi ha le seguenti radici storiche: la scoperta delle geometrie non euclidee, la nascita della logica matematica, la nascita dell’analisi moderna, la nascita della teoria degli insiemi, l’aritmetizzazione dell’analisi, la logicizzazione dell’aritmetica e la formalizzazione della geometria. 5

Davide Ragazzi

Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

Premessa

Prima di trattare direttamente gli oggetti della mia tesina: le geometrie non euclidee e la loro applicazione nella teoria della relatività, è necessaria una breve premessa sulla matematica, che è lo sfondo e il contesto in cui sono inserite la geometria e la fisica.

Matematica deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini “scienza”, “conoscenza” o “apprendimento”; matematico è μαθηματικός (mathematikós), che significa “incline ad apprendere”.

Non ho intenzione di addentrarmi nella storia di questa disciplina, basti considerare che, in fin dei conti, la matematica non è né scienza, almeno nel senso stretto del termine², ma neppure semplice filosofia, benché molti filosofi siano stati ottimi matematici. La matematica è l’applicazione più immediata della ragione, è la parte apollinea della nostra natura, si mostra a noi con il linguaggio della logica e ci permette di interpretare la realtà che ci circonda nella maniera più oggettiva possibile.

Agli inizi del ’900 avviene la crisi dei fondamenti della matematica. I matematici si interrogano sulla certezza delle basi logiche su cui è costruito l’intero sistema assiomatico della matematica.

Una domanda divenne esistenziale: Che cos’è la matematica? Molte sono state le risposte date nel corso della storia.

«La matematica è quella scienza nella quale non si sa di che cosa si parla e non si sa se ciò che si dice è vero.»

B. Russell

La matematica si basa su principi indimostrati e presi per veri, da questi si costruisce tutto il resto del sistema. Ma la matematica non vuole raggiungere proposizioni vere in assoluto, irraggiungibili, ma vere una volta stabilita la veridicità della logica comune presa in considerazione⁴.

«Anche se può sembrare un paradosso, tutte le scienze esatte sono dominate dall’idea di approssimazione.»

B. Russell

Oggi i matematici hanno accantonato il problema, limitandolo ad un fatto puramente filosofico.

La definizione classica di matematica nota fin dall’antichità è quella che la considera scienza della quantità. Più precisamente, Cartesio afferma che si riferiscono alla matematica esclusivamente quelle speculazioni nelle quali si prende in esame solo l’ordine e la misura, astrazione fatta dagli oggetti che vengono ordinati o sui quali tali misure vengono effettuate⁵.

2 La matematica nasce insieme al bisogno dell’uomo di classificare, contare e gestire quantità. Il metodo scientifico nasce molto dopo la matematica. Solo successivamente a Galileo (1564-1642) si potrà parlare di metodo scientifico nel vero senso della parola, che consiste nella raccolta di dati empirici attraverso osservazioni, la formulazione di ipotesi che, in seguito a numerosi esperimenti potranno essere confermate e divenire vere e proprie teorie scientifiche.

3 Cfr. F. Nietzsche, La nascita della tragedia ovvero grecità e pessimismo, 1872.

4 Cfr. G. Melzi, Perché la matematica, Editrice La Scuola, 1978, da pag. 31 a pag. 35.

5 Cfr. C. B. Boyer, Storia della matematica, Editrice Oscar Studio, 1976, da pag. 1 a pag. 9 e da pag. 384 a pag. 397. 6

Davide Ragazzi

Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

«La matematica è la scienza delle quantità in generale, cioè del criterio per stimare… ne segue che la matematica in generale è la scienza della ripetizione della misura, ossia del numero».

G. Leibniz

Oggi il significato si è esteso, la matematica è la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).

La potenza e la generalità dei risultati della matematica le hanno reso l’appellativo di Regina delle scienze⁶: ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all’ingegneria, dall’economia all’informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica.

Essa quindi è un mezzo indispensabile per l’uomo in ogni campo, ma soprattutto, la matematica insegna la razionalità, troppo spesso accantonata nella nostra società⁷.

«Se la matematica e la scienza prendessero il posto della religione e della superstizione nelle scuole e nei media, il mondo diventerebbe un luogo più sensato, e la vita più degna di essere vissuta. Che ciascuno porti dunque il suo contributo, grande o piccino, affinché questo succeda, per la maggior gloria dello Spirito Umano.»

P. Odifreddi, Il matematico impenitente

I dubbi non si sono limitati all’ambito strettamente matematico-logico, ma si sono estesi anche a tutte le scienze, per un semplice motivo, tutte le scienze dipendono direttamente dalla matematica per poter essere considerate tali.

«La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.»

G. Galilei, Il Saggiatore, 1623

Tutte le scienze vengono rivoluzionate, fra queste l’intera idea di fisica newtoniana con la scoperta della relatività ad opera di Albert Einstein.

Ho ritenuto doveroso fare questa breve digressione sulla matematica perché essa è la premessa necessaria degli argomenti di cui tratterò.

Geometrie non euclidee e relatività sono tematiche attuali e strettamente correlate. In entrambi i casi la logica comune (prodotto dell’organo che ci rende “animali razionali”⁸, cioè il cervello) è stata messa in seria difficoltà e ancora oggi la “crisi” non è stata superata.

6 Cfr. Karl Friedrich Gauss

7 Cfr. P. Odifreddi, Le menzogne di Ulisse, Editrice Longanesi, 2004.

8 Cfr. Aristotele 7

Davide Ragazzi

Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

I concetti di spazio e tempo assoluti di Newton o a priori di Kant vengono ora rivalutati. Tutta la filosofia e la cultura in generale subisce l’influsso di queste nuove forme di pensiero. Sono queste problematiche che mi hanno attratto maggiormente e mi hanno spinto a trattare questi temi. È grazie alla matematica che si è riusciti ad andare oltre, abbandonando certe convenzioni anacronistiche e proponendo nuove teorie più adatte all’età moderna, sia filosoficamente che scientificamente.

Non credo sia necessario andare oltre, è bene ora addentrarci in ogni tematica accennata in maniera più approfondita ed articolata. 8

Davide Ragazzi

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Genesi della geometria

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La geometria può essere oggi considerata come quella parte della scienza matematica che si occupa delle strutture e proprietà dello spazio, degli enti spaziali e delle loro relazioni.

Gli elementi geometrici più semplici sono da sempre stati utilizzati inconsciamente dall’uomo (e non solo¹⁰) fin dall’inizio dei tempi. Gli antichi Egizi e i Babilonesi conoscevano qualche rudimento di geometria: sapevano calcolare aree e volumi e conoscevano il teorema di Pitagora addirittura molti anni prima che Pitagora stesso lo dimostrasse. Non si trattava ancora di uno studio sistematico e accademico, nasceva piuttosto da esigenze essenzialmente pratiche¹¹. Si può dire che queste civiltà abbiano elaborato una sorta di geometria ante litteram: nonostante i loro metodi fossero inevitabilmente poco precisi, nacquero comunque da una primitiva forma di astrazione.

Furono i Babilonesi i primi a dimostrare di riuscire a separare le cose osservate dalle loro caratteristiche, ovvero riconoscere le forme generali che trascendono gli oggetti¹². Questo passaggio venne più tardi formalizzato dai Greci, che iniziarono a fare un uso abituale degli enti geometrici astratti.

Talete è oggi considerato il precursore della geometria occidentale. Il salto di qualità è avvenuto soltanto tre secoli più tardi, attraverso la formulazione della teoria delle Idee di Platone e alla nascita della logica classica di Aristotele.

Le Idee platoniche sono puri concetti, ognuna di esse è una matrice per tutti gli enti terreni che le somigliano. Nel mondo concreto non esistono veri triangoli, ma esistono infiniti enti materiali che hanno forma di triangolo, pur essendo diversi tra loro: in comune hanno la caratteristica che definisce l’idea di triangolo, cioè quella di avere tre lati ed angoli. Queste idee albergano in un mondo sovrasensibile, riconoscibile in parte solo dalle anime: l’iperuranio¹³. Questa astrazione ci permette di definire tutti gli enti geometrici.

Aristotele, allievo di Platone, descrive una classificazione gerarchica dei concetti: la classe dei poligoni comprende tra le altre la classe dei triangoli e dei quadrilateri, la quale a sua volta comprende trapezi, parallelogrammi, quadrati...

Una volta definiti e categorizzati i concetti, Aristotele enuncia un metodo per utilizzarli. Affermando o negando qualcosa circa un concetto, noi enunciamo un giudizio. I giudizi sono la forma elementare e irriducibile del processo cognitivo. Essi possono essere veri, oppure falsi, non entrambe le cose contemporaneamente. Per arrivare alla conoscenza, l’uomo deve connettere i giudizi tra loro mediante rapporti di causa ed effetto: deve ragionare. Il ragionamento corretto si presenta nella forma del sillogismo, che fa scaturire da un certo numero di premesse le loro necessarie conseguenze.

Alla base della geometria ci sono dunque concetti logici, che riprenderò successivamente.

9 Altre parti della matematica sono, ad esempio, l’area dell’aritmetica, che studia i numeri e si basa sulle quattro operazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) a cui si aggiungono anche radici e logaritmi, e la branca dell’algebra, che si occupa delle proprietà e relazioni di entità astratte (numeri complessi, matrici, gruppi, vettori…)

10 Attraverso alcuni esperimenti scientifici è stato dimostrato che anche alcuni animali possiedono il senso della geometria, ad esempio pesci, scimmie, topi, pulcini di pollo e piccioni percepiscono unità di oggetti parzialmente occlusi.

Cfr. V. A. Sovrano, La geometria nel cervello, sito Le Scienze, 2008.

11 Esigenze pratiche come il calcolo dell’estensione dei campi. In particolare in Egitto, i geometri egiziani utilizzavano calcoli numerici per ridisegnare i confini dei territori in seguito alle piene del Nilo.

12 Un esempio di questo principio di astrazione è l’invenzione del cerchio ad opera dei Sumeri in Mesopotamia.

13 Cfr. Platone, Fedro. 9

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Le geometrie non euclidee: implicazioni filosofiche, applicazioni fisiche.

L’applicazione delle caratteristiche logiche alla geometria ha portato alla creazione di un sistema formale strettamente legato alla realtà, ma astratto. Questo ha permesso ad Euclide di formulare la geometria che per duemila ha dominato incontrastata il regno delle certezze, e che ancora oggi non ha rivali nell’ambito del necessario umano.

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Geometria euclidea

Euclide

«Quod gratis adfirmatur, gratis negatur.»