Sezione Aurea, tesina

Lorenzo Guerrini

Liceo Scientifico annesso al Convitto Nazionale “Principe di Napoli”

Assisi

Classe VD

La sezione aurea: il linguaggio matematico della bellezza

“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello.”

-Keplero

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Origine del nome

Sommario

• Origine del nome................................................................................................. 3
• Euclide................................................................................................................. 4
• “Constantly Mean”............................................................................................... 6
• Il Numero Aureo e le sue proprietà......................................................................8
• I Pitagorici.......................................................................................................... 12
• Successione di Fibonacci....................................................................................14
• La successione di Fibonacci in fisica..................................................................16
• Legame tra la successione di Fibonacci e..........................................................18
• La Sezione Aurea come elemento di unione tra irrazionale e razionale.............21
• Rettangoli aurei................................................................................................. 23
• Rettangoli aurei nella realtà che ci circonda......................................................28
• La “Divina Proportione” nell’arte.......................................................................33
• L’arte come propaganda.................................................................................... 39
• L’ “angolo aureo” e la chimica...........................................................................41
• Il “Phi” influenza anche la “Fi-losofia”................................................................45

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Origine del nome

Origine del nome

Nel 1509 il matematico Luca Pacioli, fondatore della ragioneria, dedicò un trattato al numero aureo chiamandolo (De divina proportione), “divina proportione”.

Il 5° capitolo di tale scritto è assai significativo, poiché, in esso, vengono elencati dall'autore 5 ragioni per cui l'espressione che dà il titolo all'opera è, a suo giudizio, la più adeguata a definire la sezione aurea:

• Il rapporto aureo è uno soltanto, così come Dio;
• La presenza di 3 lunghezze nella definizione di sezione aurea richiama la definizione di Dio come Uno e Trino;
• L'irrazionalità del rapporto aureo è incomprensibile per l'intelletto umano così come il divino;
• Il fatto che il numero aureo si presenti sempre uguale e non dipenda dalla lunghezza della linea da dividere, rinvia all'onnipresenza e invariabilità di Dio;
• Come Dio ha conferito l'essere all'intero cosmo tramite la quint'essenza, allo stesso modo il rapporto aureo è alla base dell'esistenza del dodecaedro, che ne dipende per la propria costruzione.

Nel XX secolo il matematico Mark Barr propose un legame tra la costante aurea e le proporzioni del Partenone di Atene, costruito da Fidia. Così il divin numero prese le iniziali del nome del leggendario architetto divenendo famoso come Phi (φ).

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Euclide

“Elementi di geometria”

Il numero d’oro, o numero aureo, è un numero irrazionale che rappresentiamo con la lettera greca Phi (φ). Fu una scoperta dei Greci dell’epoca classica e la sua storia documentata inizia con uno dei libri più celebri, commentati e ristampati della storia: gli Elementi di Geometria di Euclide, scritto intorno all’anno 300 a.C.

Il capolavoro di Euclide è uno dei primi best-seller di argomento scientifico dell’umanità ed è stato scritto con l’intento di raccogliere tutte le conoscenze matematiche dell’epoca.

Lucio Lombardo Radice scrive, a proposito di questa enciclopedia matematica:

“Dopo la Bibbia e le opere di Lenin, è questo (libro) quello che ha avuto più edizioni ed è stato tradotto in più lingue; fino ad alcuni decenni fa è stato il libro di geometria per l’insegnamento nelle classe medie.”

Proportione hauente

Nel libro VI, come terza definizione, appare il testo da cui cominciò tutto.

La versione di Tartaglia la presenta così

“Una linea se dice esser diuisa seconda la proportione hauente il mezzo & duoi estremi quando che egliè quella medesima proportione di tutta la linea alla sua maggiore sectione che è della maggior sectione alla minore”

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Riportato nell’italiano moderno il testo dice:

“Si dice che una retta è divisa in media ed estrema ragione quando la lunghezza della linea totale sta a quella della parte maggiore come quella della parte maggiore sta a quella della minore”

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“Constantly Mean”

The Fibonacci Quarterly

The Fibonacci Quarterly is a scientific journal about mathematic, linked to Fibonacci’s numbers. The Fibonacci Association, who publishes it four times per year, published the Fibonacci Quarterly for the first time in 1963.

The journal includes research articles, expository articles, Elementary Problems and Solutions, Advanced Problems and Solutions, and announcements of interest written by the members of The Fibonacci Association. Occasionally, the journal publishes special invited articles by distinguished mathematicians.

Paul S. Bruckman

In October 1977, the mathematition Paul S. Bruckman published, in the Fibonacci Quarterly, a poem about the “Phi”. This poem is called “Constantly Mean” and it’s about the divine number and his “quite unique” properties.

This is the text of the poem: CONSTANTLY MEAN

“The golden mean is quite absurd;

It's not your ordinary surd.

If you invert it (this is fun!),

You'll get itself, reduced by one;

But if increased by unity,

This yields its square, take it from me.

Alone among the numbers real,

It represents the Greek ideal.

Rectangles golden which are seen,

Are shaped such that this golden mean,

As ratio of the base and height,

Gives greatest visual delight.

Expressed as a continued fraction,

It's one, one, one, …, until distraction;

In short, the simplest of such kind

(Doesn't this really blow your mind?)

And the convergents, if you watch,

Display the series Fibonacc'

In both their bottom and their top,

That is, until you care to stop.

Since it belongs to F-root-five

Its value's tedious to derive.

These properties are quite unique

And make it something of a freak.

Yes, one-point-six-one-eight-oh-three,

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You're too irrational for me”

Now we are going to examine these “curious” proprieties.

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Il Numero Aureo e le sue proprietà

Applicazione della definizione

Per far sì che tale partizione sia aurea applichiamo la definizione di Euclide sopracitata e cerchiamo di ricavarci la x, ricordando che x > 0

Perciò avremo che:

x : 1 = 1 : x − 1

Quindi

x / 1 = 1 / x − 1

Questa uguaglianza ci porta alla seguente equazione di secondo grado

(x − 1) · x = 1

x² − x − 1 = 0

che ha due soluzioni, ma l’unica accettabile, per le condizioni d’esistenza, è quella positiva ed è proprio la relazione che cerchiamo e che chiamiamo φ

φ = x = (1 + √5) / 2 ≃ 1,618

L’altra soluzione risulta essere 1 − √5 / 2 e più avanti vedremo essere uguale a 1 − φ (cioè 1 / φ) e che differisce da φ solo per la parte intera.

Poiché la soluzione dell’equazione è la relazione fra le lunghezze dei segmenti, questa sarà la stessa qualsiasi sia il segmento dal quale partiamo.

Come traspare evidente il numero φ è un numero decimale non periodico.

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Qui sotto riporto i primi mille decimali del numero aureo

1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862

2705260 4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663

3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131

9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631

3614438 1497587 0122034 0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432

0771344 9470495 6584678 8509874 3394422 1254487 7066478 0915884 6074998

8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906 9704000 2812104 2762177

1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748 0710131

7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822 8911097

6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263

1165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654

9068113 1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645

6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619

4320827 5051312 1815628 5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160

0868838 2952304 5926478 7801788 9921990 2707769 0389532 1968198 6151437

8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362...

Un altro modo di scrivere la sezione aurea

Immaginiamo di voler cercare il valore della successione indefinita di radici quadrate:

A = √1 + √1 + √1 + √1 + √1 + ...

Elevando al quadrato A otteniamo che

A² = 1 + √1 + √1 + √1 + √1 + ... = 1 + A

E si realizza che

A² − A − 1 = 0

Che, essendo la stessa equazione che identifica φ, ci dice che

A = φ = √1 + √1 + √1 + √1 + √1 + ...

Potenze del numero aureo

Sappiamo che φ è la soluzione dell’equazione

x² − x − 1 = 0

Ciò significa che l’equazione è verificata per quel valore di x. Perciò posso sostituire x con φ ed ottenere così

φ² − φ − 1 = 0

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φ² = φ + 1

Questo ci dà una preziosa informazione sul quadrato di φ: esso differisce da φ per un intero ma mantiene invariate le infinite cifre decimali.

“But if increased by unity,

This yields its square, take it from me”

Partendo dall’ultima equazione, moltiplicando diverse volte per φ, otteniamo

φ³ = φ² + φ

φ⁴ = φ³ + φ²

φ⁵ = φ⁴ + φ³

φ⁶ = φ⁵ + φ⁴

E ciò significa che qualsiasi potenza di φ è uguale alla somma delle due potenze precedenti.

Usando tali equazioni possiamo mettere in relazioni le potenze di φ con φ stesso, cioè

φ³ = φ² + φ = φ + 1 + φ = 2φ + 1

φ⁴ = φ³ + φ² = 2φ + 1 + φ + 1 = 3φ + 2

φ⁵ = φ⁴ + φ³ = 3φ + 2 + 2φ + 1 = 5φ + 3

φ⁶ = φ⁵ + φ⁴ = 5φ + 3 + 3φ + 2 = 8φ + 5

Sarà utile memorizzare la definizione che lega una potenza di φ con le due precedenti e l’ultimo elenco di equazioni perché più avanti saranno utili per mettere in relazione il numero aureo con una delle più famose e meravigliose successioni della matematica.

Riprendiamo ora l’equazione che lega φ con φ e proviamo a “giocarci” un po’

φ² − φ = 1

φ (φ − 1) = 1

φ − 1 = 1 / φ

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Perciò l’inverso di φ si ottiene togliendo al numero aureo un’unità. Perciò, come per φ², φ⁻¹ ha la stessa parte decimale di φ.

“If you invert it (this is fun!),

You’ll get itself, reduced by one”

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I Pitagorici

O le proprietà magiche della stella pentagonale

Come già detto, Pitagora (570 a.C.-495 a.C.) individuò nella stella pentagonale (riconducibile alle diagonali di un pentagono regolare) la massima “applicazione grafica” della sezione aurea:

AB / AC = AC′ / AD = φ

Prima di vedere perché ricordiamo che un pentagono regolare ha tutti gli angoli interni di misura 108° e tutti i lati e le diagonali uguali.

Inoltre, sin 108° = √(2 + √5) / 4, sin 36° = √(5 − 1) / 4.

AOB, AO = OB

Analizziamo perciò il triangolo AOB che risulta isoscele poiché AO = OB, quindi,

 = B̂ = (180° − 108°) / 2 = 36°

AÔB = 108°, sapendo che. Abbiamo ora tutte le informazioni per ricavare AB, poiché

AB / BO = sin 108° / sin 36°

AB / BO = (√(2 + √5) / 4) / (√(5 − 1) / 4)

AB / BO = (1 + √5) / 2 = φ

Dimostriamo ora che partendo dal triangolo A′BC′ (anch’esso isoscele)

BO = A′C

da cui possiamo ricavare

BC′ / BO = sin 36° / sin 108°

BC′ = BO · sin 36° / sin 108°

BC′ = BO / φ

A′C = AB − BC′.

Riprendendo il rapporto di sopra sappiamo che AB = BO · φ, quindi

A′C = BO · φ − BO / φ = BO(φ − 1 / φ)

AB / BO = φ

Perciò AB / A′C = φ.

Notiamo ora che i triangoli AOD e BOC sono congruenti poiché hanno un lato e due angoli corrispondenti congruenti.

In particolare AD = BC′ = BO / φ.

Perciò AC′ / AD = BO / (BO / φ) = φ.

Per la congruenza di sopra, notiamo anche che DC′ = AB − 2AD = φBO − 2BO / φ = BO(φ − 2 / φ), che per le proprietà viste sopra, è uguale a BO / φ².

Quindi prendendo l’ultimo rapporto di Pitagora vediamo che

AD / DC′ = (BO / φ) / (BO / φ²) = φ.

Ed ecco dimostrati i rapporti Pitagorici sulla stella pentagonale.

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Successione di Fibonacci

“Liber Abaci”

Il libro, scritto nel 1202 dal matematico Leonardo Pisano (meglio conosciuto come Fibonacci), trattava, oltre ai vantaggi delle cifre arabe per fare i conti, di teoria dei numeri e di algebra di primo grado.

Il problema dei conigli

Il più famoso problema posto nel Libro dell’Abaco è il famoso problema dei conigli che recita: “Quante coppie di conigli avremo a fine anno se cominciassimo con una coppia che genera ogni mese un’altra coppia che a sua volta procrea dopo due mesi di vita?”

La soluzione di Leonardo

Leonardo Pisano, da buon mercante, realizzò una tabella a doppia entrata in cui monitorava il numero di coppie alla fine di ogni mese.

Nelle colonne riportava le generazioni di conigli e nelle righe i mesi.