Tesina
Esame di stato
di
«Sembra difficile dare una sbirciata alle carte di Dio.
Ma che Egli giochi a dadi e usi metodi "telepatici" [...]
è qualcosa a cui non posso credere nemmeno per un attimo»
(A. Einstein)
Storia del rapporto aureo
I pitagorici ritenevano che l'universo intero fosse scritto in termini matematici e dunque armonici
(cosmo = ordine razionale e bello) poiché tutte le cose sono caratterizzate dalla misurabilità. Di conseguenza la matematica è principio ed essenza ultima della realtà.
“Per primi si applicarono alle matematiche e le fecero progredire, e, nutriti delle medesime, credettero che i principi di queste fossero principi di tutti gli esseri. E, poiché nelle matematiche i numeri sono per loro natura i principi primi, appunto nei numeri essi ritenevano di vedere, più che nel fuoco nella terra e nell'acqua, molte somiglianze con le cose che sono e che si generano [...]; e inoltre poiché vedevano che le note e gli accordi musicali consistevano nei numeri, e, infine, poiché tutte le altre cose, in tutta la realtà, parevano a loro che fossero ciò che è primo in tutta quanta la realtà, pensarono che gli elementi del numero fossero elementi di tutte le cose, e che tutto quanto l'universo fosse armonia e numero"
Metafisica, A 5, 985-6
[Aristotele, ]
Anni dopo Galileo riprenderà questa tesi ed aggiungerà che conoscenza umana e divina coincidono quando si occupano di matematica. Dunque i numeri costituiscono l'essenza di tutte le cose. Ma tra λόγοι,
essi esistono ossia rapporti e tra i rapporti è possibile rintracciare una proporzione (in
αναλογία),
greco ossia uguaglianze di rapporti. Allora è la conoscenza di questo complesso universo di relazioni tra numeri e cose che costituisce per i Pitagorici il vertice dell'apprendimento.
Il contributo principale della scuola dei Pitagorici fu la sezione aurea rappresentata geometricamente dal rettangolo aureo: la proporzione fra base e altezza è assolutamente perfetta.
Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato AEFD. Quindi si divida il segmento DF in due chiamando il punto medio A’. Utilizzando il compasso, puntando in A’, si disegni un arco che da E intersechi il prolungamento del segmento DF in C. Riunendo i vertici, il rettangolo ABCD che ne risulterà sarà un rettangolo aureo nel quale cioè il lato AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea: AE:EB=AB:AE.
Se attraverso questi quadrati si disegnano una serie di archi circolari aventi come raggio i lati dei quadrati, la curva che ne consegue è la spirale aurea. Questa ricorre moltissimo in natura, per esempio nella conchiglia del Nautilus.
Fu il matematico Mark Barr a introdurre l'uso, oggi consolidato, della φ (phi) per indicare la sezione aurea. Egli avrebbe scelto l'iniziale dello scultore greco Fidia, il quale avrebbe usato il rapporto aureo per creare le sculture del Partenone.
Il numero Φ (phi) è irrazionale, cioè un numero reale che non può essere scritto sotto forma di frazione a/b (con a e b interi e con b diverso da zero) con infinite cifre decimali non periodiche, ed è trascendente ossia è un numero irrazionale non algebrico, quindi non costituisce la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma:
dove n≥1 e i coefficienti a sono numeri interi o razionali, non nulli.
i
Per quanto concerne l'esatto valore del numero φ, bisogna riferirsi al segmento AB, prima indicato come lato del rettangolo. Niente ci vieta di scegliere per unità di misura della lunghezza il segmento più breve, EB. La lunghezza del segmento maggiore, AE, sarà quindi x, cioè un fattore sconosciuto, maggiore di 1, visto che AE > EB).
A x E 1 B
AB = AE = EB = , >
x+ 1 x x 1 x x> 1 1
Dire che la nostra linea è divisa in sezione aurea equivale, per la definizione data da Euclide nel XIII libro dei suoi Elementi, ad affermare che:
x :1 = (x + 1) : x.
Tale concezione è basata sul semplice concetto di medio proporzionale.
Nei più familiari termini algebrici, esso si presenta come:
x x+1
=
1 x
Moltiplicando entrambi i membri per x, si ottiene l' equazione di secondo grado:
2 −x−1=0
x
Le due soluzioni dell'equazione del rapporto aureo sono:
√
1+ 5
=
x 1 2 √
1− 5
=
x 2 2
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
