Progetto tecnica delle costruzioni ( B, C1, C2, D)

Corso di tecnica delle costruzioni

Docente: Prof. Marco Di Prisco

Anno accademico: 2021/2022

Politecnico di Milano

Facoltà di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale

Corso di laurea in Ingegneria Civile

Prova B – Verifica di un serbatoio

Studente: Re Francesco

Matricola: 917865

Traccia

Determinare le azioni interne presenti in un serbatoio in calcestruzzo armato agente come digestore aerobico e avente le dimensioni indicate in figura. Si supponga il serbatoio completamente pieno di fanghi con peso specifico pari a 12 kN/m³. Si consideri trascurabile il peso della copertura del serbatoio. Si consideri la parete interna in equilibrio termico con il liquido interno e quella esterna in equilibrio termico con l’ambiente. Si valutino gli sforzi nella parete del serbatoio dovuti ai fanghi, al peso della parete e ad una sollecitazione termica, supponendo che il getto sia avvenuto a 20°C e considerando due situazioni alternative: estate (Text. = 35°C; Tint. = 25°C); inverno (Text. = -10°C; Tint. = 10°C).

Parametri del progetto

Utilizzando F=6, R=18 risulta:

• t= 0,488 m
• H= 10,88 m

Valori utilizzati: E=30GPa; ν=0,2; fck=35Mpa; fctk=3,5Mpa

Condizioni termiche stagionali

La verifica del serbatoio è richiesta per due condizioni termiche stagionali alternative (inverno ed estate). Da consegna sono stati forniti i seguenti dati sulle temperature:

• In estate → Tint = 20°C; Test=40°C (Tmedia = 30°C)
• In inverno → Tint = 10°C; Test=0°C (Tmedia = 5°C)

Descrizione strutturale

Un serbatoio cilindrico può essere considerato come una struttura piana (piastra) a semplice curvatura, e in quanto tale se ne può suddividere il comportamento in “flessionale” (agli estremi) e “membranale” (nelle parti interne). La caratteristica di solidi come il serbatoio di avere una certa curvatura li rende “forma-resistenti”: in condizioni di assialsimmetria (carichi simmetrici per rotazione intorno ad un asse e la simmetria riguarda anche struttura e vincoli) il regime di sollecitazione è caratterizzato da componenti che agiscono in sole due direzioni (un’azione in direzione x ed una in direzione s).

Infatti, considerando una fetta di serbatoio, ho delle azioni interne che scorrono in verticale (cioè in direzione x) e delle azioni cerchianti (corrispondenti ad un’azione di membrana e un momento flettente in direzione s). La caratteristica fondamentale di un funzionamento di questo tipo è che, definito ‘x’ l’asse che percorre il serbatoio in direzione verticale, tutte e cinque le componenti appena definite sono funzione soltanto di x: esse infatti, per l’hp di assialsimmetria, sono funzione solo della quota e non della coordinata circonferenziale.

→ l’asse verticale con le azioni in direzione x rappresenta la trave della teoria di trave elastica su suolo elastico, quindi il comportamento flessionale: ad esso si sovrappone un altro tipo di comportamento, definito membranale, descritto dalla sezione nel piano orizzontale (che è un cerchio) su cui agiscono le azioni in direzione s.

Ciò significa che, dato un serbatoio incastrato al piede con un liquido al suo interno, il carico (che è il fluido da contenere, quindi perpendicolare alle pareti) sarà equilibrato in due modi:

• Con la singola striscia di serbatoio che si inflette come fosse una mensola e porta il carico a terra
• Con meccanismo membranale circonferenziale (attivato dalle componenti Ns ed Ms) che raccoglie il carico

Comportamento trave elastica su suolo elastico

Ogni singola striscia di serbatoio si comporta come una trave (che per analogia con la teoria di trave alla Winkler rappresenta il funzionamento flessionale) la quale vede al contempo un contributo benefico di un suolo elastico, rappresentato da tutti gli anelli nel piano orizzontale (che tengono conto del comportamento membranale).

A questo punto scriviamo l’equazione di trave elastica su suolo elastico per un serbatoio generico: ( ) + = 2 212(1 )− 4 √ = posso definire: ;4 2 = mi permette di dire se il serbatoio è snello o tozzo mediante ;tozzo se H< snello se H> ; =9,90 nel mio caso H> con => snello

Nota bene: se r→∞ la curvatura (inverso del raggio) va a 0 : nell’equazione di trave elastica su suolo elastico per il serbatoio il contributo membranale scompare e ad equilibrare il carico resta solo la striscia verticale (che funziona come una trave). Se r→0 la curvatura va a ∞ : tutto il carico viene equilibrato da un comportamento membranale sviluppato grazie al regime di sollecitazione in direzione cerchiante.

Calcolo delle pressioni

p(x) è il carico agente, che devo ancora definire:

La pressione agente sulle pareti (che rappresenta il fluido interno al serbatoio) equivale ad un carico p(x) triangolare ed è trovata tramite la densità del fluido in funzione dell’altezza del serbatoio: = γ (h − x)

Equilibrio e deformazione

La forza di trazione esercitata nel generico anello del serbatoio è: = σ tb = (b = 1) = σ ts s ()( )() () ; = Equilibrio: 2 = 2

Come detto precedentemente, per studiare il comportamento flessionale, si considera ogni singola striscia di larghezza unitaria come una trave elastica su suolo elastico alla Winkler. Si introducono delle molle la cui rigidezza rappresenta il contributo dell’anello. La costante elastica k di ogni molla lega lo spostamento associato alla molla con la pressione agente su di essa. Indicando con w lo spostamento radiale del serbatoio (positivo se rivolto verso l’esterno) si può affermare che p è proporzionale a w attraverso k.

Costante elastica e equazione differenziale

Per il calcolo della costante elastica k si considera un generico concio di serbatoio:

• Equilibrio: =
• Legame costitutivo monoassiale: = = 5
• Deformazione assiale negli anelli: =

Noto che =σ sostituendo le relazioni appena trovate, si ottiene: t,s = ⋅ = = ⋅ = = -> 2 =

Sapendo poi che p = kw, si ricava il valore della costante elastica: 2

L’equazione differenziale risolvente del problema della trave elastica su suolo elastico diventa: ( ) + = questa va specializzata per il problema in esame: si deve andare ad impedire l’espansione laterale (εs = 0) e ciò si può fare considerando un legame costitutivo monoassiale che tenga già conto di tale condizione = = modulo→ con elastico fittizio = . 2 1−4 2√3(1− ) = Ricordando che e considerando l’equazione differenziale da risolvere diventa:

√(ℎ−)() 4 + 4 = = La soluzione generale di tale equazione, che fornisce il valore dello spostamento w(x) verso l’interno o

OAl’esterno della parete del serbatoio, è data dalla somma della soluzione dell’omogenea associata (w ) e di

Puna soluzione particolare (w ):

OA −αx αxw = e [Acos(αx) + Bsen(αx)] + e [Ccos(αx) + Dsen(αx)]

2(ℎ ) − = (soluzione puramente membranale, cioè che si ha quando non ci sono disturbi flessionali come effetti di discontinuità di carichi/geometria o effetti dei vincoli)

2(ℎ−)− ()] ()] → w(x) = [() + + [() + +

Ci sono 4 costanti da determinare (A,B,C,D) quindi andremo ad imporre quattro condizioni al contorno, dipendenti dalla presenza del coperchio o meno sul serbatoio. Inoltre, per la risoluzione del nostro problema, si deve tener conto anche di una componente termica w = TOA Pβ∆T(cost)R, quindi si ha:

w(x) = w + w + w T

2(ℎ−) − ()] ()] w(x) = [() + + [() + + + β∆T(cost)R

Si trova la soluzione imponendo le seguenti condizioni al contorno: considerando il caso di serbatoio chiuso con peso della copertura trascurabile (NB. Se la copertura avesse avuto un peso avrei dovuto aggiungere alla soluzione un altro integrale particolare.)

Le condizioni al contorno saranno le stesse per la situazione estiva e quella invernale. Determinate le costanti (a partire dalle condizioni al contorno) è nota la w(x), quindi l’andamento della deformata qualitativa:

Grafici di deformazione

Si riportano di seguito i grafici per questa situazione, prima per il caso estivo poi per quello invernale.

0.0016 Deformata 0.0014 0.0012 0.001 0.0008 0.0006 w(x) 0.0004 0.0002 0 0 2 4 6 8 10 12 0 0 2 4 6 8 10 12 -0.0002 Deformata -0.0004 -0.0006 -0.0008 -0.001 w(x) -0.0012 -0.0014 -0.0016 -0.0018 -0.002

Calcolo delle derivate e momenti

Si calcolano:

• Le derivate di w(x): − − [() ()] [cos() ()] [cos() ()] () = {− + + − + −2 [cos() ()]}+ + − 2 − 2 ()] ()] () = 2 [() − + 2 [−() +3 − 3 ()] [cos() ()]} ()] () = 2 {[cos() − + + − 2 {[cos() + +[−cos() ()]}+
• I momenti M (causante gli sforzi σx) ed M (causante gli sforzi σs):

x s3 β∆T(χ) ( ) [ − 2(1 − ) ]() = [kN] 2 )12(1− 3 β∆T(χ) () [ − 2(1 − ) ]() = [kN] 2 )12(1−

Grafici di momenti

Inverno

• 500000
• 400000
• 300000
• Mx
• 200000
• Ms
• 100000

0 0 2 4 6 8 10 12 -100000 estate 500000 0 2 4 6 8 10 12 -50000 -100000 -150000 Mx -200000 Ms -250000 -300000 -350000 -400000 -450000 3

Taglio e azioni assiali

• () Il taglio: = − [kN/m]2 )12(1−
• Azione assiale N(x)= γ t(H-x) cls estate 500000 400000 300000 200000 Nx Vx 100000 0 0 2 4 6 8 10 12 -100000 -200000 inverno 200000 100000 0 0 2 4 6 8 10 12 Nx -100000 Vx -200000 -300000 -400000

Sforzi agenti

Gli sforzi agenti, necessari per le verifiche: tali verifiche vengono effettuate nei punti più sfavoriti che sono la mezzeria (in cui è massima la τ) e le facce interna ed esterna (in cui è massima la σ).

Vediamo prima di tutto quali sono questi sforzi nel piano verticale ed orizzontale:

Piano verticale

Le azioni presenti generano una variazione di tensioni σx che vengono ipotizzate linearmente distribuite:

In particolare:

• 12() (),( = − ) (− ) += [MPa]3( )2 2
• 12() (),( = + ) (+ ) += [MPa]3( )2 2
• (), ( = 0) = [MPa]

Inoltre il taglio Vx mi fa nascere una tensione tangenziale (il cui andamento è parabolico con valore massimo in corrispondenza del baricentro):

3Vx = [MPa](2)- nel piano orizzontale le azioni agenti generano una tensione di questo tipo:

Piano orizzontale

In particolare:

• 12() (), ( = − ) (− ) += [MPa]3( )2 2
• 12() (), ( = + ) (+ ) += [MPa]3( )2 2
• (), ( = 0) = [MPa]

In definitiva, considerato un settore di guscio cilindrico, l’andamento degli sforzi è di questo tipo:

Grafici di sforzi

Estate

• 15000000
• 10000000
• 5000000 σx(x,z=+t/2)
• 0 σx(x,z=+t/2)
• 0 2 4 6 8 10 12 σx(x,z=0) -5000000 -10000000 -15000000 inverno 15000000 10000000 5000000
• σx(x,z=-t/2) 0 σx(x,z=+t/2)
• 0 2 4 6 8 10 12 σx(x,z=0) -5000000 -10000000 -15000000

Verifiche

Le verifiche sono state effettuate ponendo lo sforzo principale di trazione σmax < fctk e lo sforzo principale di compressione σmin > -0,45fcck. Con fctk=3500 kpa e fck=35000 kpa; σmin>-15750kPa

Dettagli delle verifiche

In particolar modo:

• Sulla faccia interna e su quella esterna le tensioni principali sono state definite come: σmax = max {σx, σs} σmin = min {σx,σs}
• In mezzeria sono state determinate prima σ (C+R) e σ (C-R) mediante il cerchio di Mohr e poi si sono calcolate: σmax = max {σ , σ , σs} σmin = min {σ , σ , σs}

Queste verifiche non risultano essere sempre verificate, in quanto in alcuni casi risulta che il serbatoio non sia in grado di sopportare sforzi di trazione. Questo risultato è facilmente osservabile dai grafici riportati in seguito.

Estate

Esterno

• 15000000
• 10000000
• 5000000 σx(x,z=-t/2) 0 σs(x,z=-t/2)
• 0 2 4 6 8 10 12 σc -5000000 σt -10000000 -15000000 -20000000

Interno

• 50000000 0 2 4 6 8 10 12 σc -5000000 σt σx(x,z=+t/2) -10000000 σs(x,z=+t/2) -15000000 -20000000

Mezzeria

• 50000000 0 2 4 6 8 10 12 σc -5000000 σt σs(x,z=0) σ1(x,z=0) -10000000 σ2(x,z=0) -15000000 -20000000

Inverno

Esterno

• 10000000 5000000 0 2 4 6 8 10 12 σc σt -5000000 σx(x,z=-t/2) σs(x,z=-t/2) -10000000 -15000000 -20000000

Interno

• 20000000 15000000 10000000 σc 5000000 σt 0 σx(x,z=+t/2)
• 0 2 4 6 8 10 12 -5000000 σs(x,z=+t/2) -10000000 -15000000 -20000000

Mezzeria

• 15000000 10000000 5000000 σc σt 0 0 2 4 6 8 10 12 σ1(x,z=0) -5000000 σ2(x,z=0) σs(x,z=0) -10000000 -15000000 -20000000

Corso di tecnica delle costruzioni: progetto di una trave reticolare in acciaio

Politecnico di Milano

Facoltà di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale

Corso di laurea in Ingegneria Civile

Progetto di una trave reticolare in acciaio

A cura di Re Francesco

Prof. Marco Di Prisco

Indice

• Capitolo 1: Descrizione del caso strutturale ............................................................. 3
• Capitolo 2: Analisi dei carichi e predimensionamento ............................................ 4
• Capitolo 3: Analisi strutturale ......................................................................................... 9
• Capitolo 4: Progetto del traverso .................................................................................. 12
• Capitolo 5: Progetto del corrente superiore compresso ........................................... 15
• Capitolo 6: Progetto del corrente inferiore teso ........................................................... 18
• Capitolo 7: Progetto del montante compresso ........................................................... 19
• Capitolo 8: Progetto dell’asta diagonale tesa ............................................................... 23
• Capitolo 9: Progetto di un giunto bullonato ................................................................ 24
• Capitolo 10: Verifica di deformabilità ....................................................................... 28
• Capitolo 11: Predimensionamento e progetto finale ................................................... 32
• Capitolo 12: Punti salienti ..........................................................................................