Teoria Metodi matematici per l'ingegneria

I. Condizioni di Cauchy-Riemann

Enunciare le condizioni di Cauchy-Riemann. Qual è il legame fra dette condizioni e la derivabilità in senso complesso?

II. Convergenza in energia per le serie di Fourier

Definire la convergenza in energia per le serie di Fourier, e dare una condizione sufficiente per la convergenza di una serie.

III. Formula di Plancherel

Enunciare la formula di Plancherel.

IV. Trasformata di Laplace e trasformata di Fourier

Enunciare la relazione fondamentale fra trasformata di Laplace e trasformata di Fourier, specificando per quali segnali è valida.

V. Filtro discreto, lineare e tempo-invariante

Dare la definizione di filtro discreto, lineare e tempo-invariante.

IV. Dominio della trasformata di Laplace

Definire il dominio della trasformata di Laplace ed enunciare un criterio perché un segnale sia L-trasformabile.

I. Residuo e teorema dei residui

Scrivere la definizione di residuo di una funzione olomorfa in una singolarità isolata ed enunciare il teorema per il calcolo degli integrali complessi mediante i residui.

II. Prodotto scalare e teorema di Pitagora

Definire il prodotto scalare tra due segnali periodici ed enunciare il teorema di Pitagora per la potenza di un segnale.

III. Integrabilità assoluta

Con u e v due segnali nello spazio vettoriale V:

Cosa significa che un segnale u è assolutamente integrabile sull’intervallo (-inf,+inf)?

Convoluzione discreta

Scrivere la formula di rappresentazione di un filtro mediante convoluzione discreta.

Residuo all’infinito

Scrivere la definizione di residuo all’infinito e la relativa formula dei residui.

V. Trasformata Zeta

Scrivere la definizione di trasformata Zeta di un segnale discreto e causale U, discutendone l’insieme di definizione.

IV. Segnale L-trasformabile

Sia u un segnale L-trasformabile. Esprimere F[e^(-rt)u(t)](f) in termini della trasformata di Laplace U di u, specificando per quali valori di r ∈ R la formula è valida.

I. Trasformata di Fourier

a) Definizione e teorema di inversione

Dare la definizione di trasformata di Fourier.

Enunciare il teorema di inversione.

L’integrale è inteso con il senso di valore principale.

II. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier

a) Teorema di migliore approssimazione

Enunciare il teorema di migliore approssimazione per i polinomi trigonometrici.

b) Teorema di Parseval

Enunciare il teorema di Parseval.

b) Teorema di inversione di Riemann-Fourier

Enunciare il teorema di inversione di Riemann-Fourier con la relativa formula.

b) Calcolo dei residui

Scrivere le formule per il calcolo dei residui per il quoziente di due funzioni olomorfe.

b) Inversione della trasformata Z

Scrivere la formula di inversione della trasformata Z.

I. Serie di Laurent e singolarità isolate

a) Sviluppo in serie di Laurent

Dare la definizione di sviluppo in serie di Laurent.

b) Classificazione delle singolarità isolate

Discutere la classificazione delle singolarità isolate di una funzione olomorfa.

IV. Convoluzione e trasformata di Laplace

a) Definizione di convoluzione

Scrivere la definizione di convoluzione di due segnali u, v e dedurne con semplici passaggi la versione per due segnali causali.

b) Legame tra convoluzione e trasformata di Laplace

Nel caso dei segnali causali, scrivere il legame tra convoluzione e trasformata di Laplace.

L[g(t)*f(t)] ⇒ G(S)F(S)

Teorema di Cauchy

Enunciare il teorema di Cauchy per le funzioni olomorfe.

Prodotto scalare per segnali periodici

Dare la definizione di prodotto scalare per due segnali limitati e T-periodici.