Stabilità

Capitolo 7 — Stabilità

Documento di Studio per l'Esame

1. Definizioni Importanti

1.1 Stato di equilibrio (sistema non lineare)

Definizione: Dato il sistema autonomo (ottenuto fissando ), è uno stato di

~

ẋ (t) = f u(t) = u

ˉ x

ˉ

(x(t))

​

equilibrio se ~ ~

f x

ˉ f x

ˉ x

ˉ [t. discreto]

( ) = 0 [t. continuo] ( ) =

​ ​

cioè il sistema resta in per tutti i tempi successivi.

x

ˉ

1.2 Stato di equilibrio stabile

Definizione (stabilità di Lyapunov): è stabile se

x

ˉ

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : ∥x(0) − x

ˉ ∥ < δ ⟹ ∥x(t) − x

ˉ ∥ < ε ∀ t ≥ 0

Intuitivamente: perturbazioni piccole rimangono confinate in un intorno arbitrariamente piccolo di .

x

ˉ

1.3 Stato di equilibrio convergente

Definizione: è convergente se

x

ˉ ∃ δ > 0 : ∥x(0) − x

ˉ ∥ < δ ⟹ lim ∥x(t) − x

ˉ ∥ = 0

​

t→+∞

Intuitivamente: partendo sufficientemente vicino a , la traiettoria vi torna asintoticamente.

x

ˉ

1.4 Stato di equilibrio asintoticamente stabile

Definizione: è asintoticamente stabile se è sia stabile che convergente.

x

ˉ

1.5 Stato di equilibrio GAS

Definizione (stabilità asintotica globale): è globalmente asintoticamente stabile (GAS) se

x

ˉ n

∀ x(0) ∈ R , lim ∥x(t) − x

ˉ ∥ = 0

​

t→+∞

Non è sufficiente un comportamento locale: la convergenza deve valere per ogni condizione iniziale.

1.6 Stabilità ILUL (stabilità esterna)

Definizione (BIBO / ILUL): Un sistema è stabile in senso ILUL (Ingresso Limitato → Uscita Limitata) se

∀ U > 0, ∃ Y > 0 : ∥u(t)∥ ≤ U ∀t ≥ 0 ⟹ ∥y(t)∥ ≤ Y ∀t ≥ 0

Riguarda la rappresentazione I/O, non lo spazio di stato.

2. Formule da Memorizzare

2.1 Matrice Jacobiana per il criterio ridotto di Lyapunov

Formula: ∂ f n×n

A = R

∈

​ ​ ​

∂ x x=x

ˉ

è la funzione vettoriale del sistema o

f ẋ (t) = f (x(t)) x(k + 1) = f (x(k))

La valutazione si fa nel punto di equilibrio specifico da analizzare

x

ˉ

Valida solo localmente (linearizzazione attorno a )

x

ˉ

2.2 Risposta libera dei sistemi lineari

Formula: At k x(0) [t. discreto]

x(t) = e A

x(0) [t. continuo] x(k) =

Queste espressioni sono combinazioni lineari dei modi del sistema: determinano la stabilità di .

x

ˉ = 0

2.3 Stato di equilibrio del sistema lineare non autonomo

Formula (sistema , costante):

ẋ = Ax + B u u = u

ˉ A x

ˉ = −B u

ˉ

Se : unico stato di equilibrio −1

det(A) =

 0 x

ˉ = −A B u

ˉ

Se e : infiniti stati di equilibrio

det(A) = 0 −B u

ˉ ∈ Im(A)

Se e : nessuno stato di equilibrio

det(A) = 0 −B u

ˉ ∈

/ Im(A)

3. Proprietà, Teoremi e Risultati

3.1 Relazioni tra le definizioni di stabilità

Proprietà:

instabile: non è stabile

x

ˉ marginalmente stabile: stabile ma non convergente

x

ˉ

Nei sistemi non lineari esistono stati convergenti ma non stabili (convergente stabile)



⇒

Nei sistemi lineari convergente asintoticamente stabile (le due condizioni coincidono sempre)

⇒

Implicazione pratica: negli esercizi su sistemi non lineari, non confondere convergenza con stabilità.

3.2 Criterio ridotto di Lyapunov — tempo continuo

Teorema: Sia e i suoi autovalori. Allora:

A = ∂ f /∂ x λ , … , λ

1 n

​ ​ ​ ​

x

ˉ

Se per ogni è asintoticamente stabile

Re[λ ] < 0 i ⇒ x

ˉ

i ​

Se è instabile

∃ λ : Re[λ ] > 0 ⇒ x