Stabilità dell'equilibrio elastico

Instabilità dell'equilibrio nelle strutture

Si parla di instabilità dell'equilibrio quando la crisi per la struttura, cioè il collasso, si verifica anche se la sollecitazione agente si mantiene ovunque al di sotto di un valore limite di resistenza. Questo fenomeno avviene in genere su membrature snelle per sforzi di compressione. L’instabilità non si verifica per sforzi di trazione.

Approcci per lo studio del fenomeno

Per studiare questo fenomeno di collasso strutturale sotto i limiti di resistenza del materiale si hanno due approcci:

• Approccio dinamico
• Approccio statico

Nella nostra analisi consideriamo un approccio di tipo statico, per il quale bisogna differenziare problemi di stabilità di tipo euleriano e non euleriano.

• I problemi di tipo non euleriano sono legati a sistemi in cui le forze agenti non sono conservative.
• I problemi sono di tipo euleriano quando per il sistema esiste una configurazione fondamentale o banale che non è necessariamente indeformata, ma è comunque legata linearmente al carico.

Il comportamento dei problemi euleriani è lineare in fase precritica e la configurazione fondamentale può essere calcolata operando in ipotesi di piccoli spostamenti (tuttavia l’ipotesi di piccoli spostamenti andrà rimossa per studiare l’ipotesi di instabilità). Questa ipotesi viene mantenuta solo per la determinazione della configurazione banale. Raggiunto il valore del carico applicato pari al carico critico euleriano, ha luogo una biforcazione nei percorsi di equilibrio. Se il valore dei carichi tende a quello del carico critico euleriano, la condizione banale diventa di equilibrio instabile e non può essere mantenuta.

Le strutture reali sono schematizzate come sistemi discreti, costituiti da tanti elementi rigidi. Concentrano in singoli punti tutte le caratteristiche di deformabilità del sistema.

Instabilità di prima specie

Consideriamo un’asta rigida caricata di punta: le caratteristiche di deformabilità sono concentrate nella cerniera di base che viene associata a una molla rotazionale di rigidezza K. La soluzione al primo ordine sotto l’ipotesi di piccoli spostamenti prevede di imporre l’equilibrio della configurazione indeformata. L’unica possibilità è che l’asta compressa si mantenga rettilinea, cioè che l’angolo di rotazione theta sia costantemente zero. Questa è la configurazione di equilibrio fondamentale o banale.

Abbandoniamo l’ipotesi di piccoli spostamenti e imponiamo l’equilibrio alla configurazione deformata, determinando la soluzione esatta.