Serie di Fourier

Appendice Serie e trasformata di Fourier - 1

Appendice

Serie e trasformata di Fourier

1 - Segnali periodici: sviluppo in serie di Fourier

Un segnale è periodico nel tempo quando si ripete ogni T secondi:

() = ( + ) (1.1)

L’indice i = 1, 2, 3 ... rappresenta la replica del segnale elementare, che si succede identica nel

tempo ogni periodo di durata T. Si veda, come esempio, il segnale reale x(t) in Fig.1.1.

Fig.1.1 - Segnale periodico

Se T è il periodo, espresso in secondi [s], f = 1/T è la frequenza fondamentale, in hertz [Hz], e

0

 = 2f è la pulsazione fondamentale, che si esprime in radianti per secondo [rad/s].

0 0

Per i segnali periodici la rappresentazione più usata nel dominio della frequenza è costituita

dalla scomposizione in serie di Fourier, mediante componenti armoniche a frequenze kf ,

0

multiple della frequenza fondamentale f :

0

∞ 2

∑

() = (1.2)

0

=−∞

I coefficienti X dello sviluppo in serie di Fourier possono essere determinati moltiplicando

k 

k’f

membro a membro l’Eq.1.2 per la funzione -j2 t

e e mediando nel periodo T. Al secondo

0

 k’

j2 (k-k’)f t

membro risulteranno pertanto termini del tipo e . Se è diverso da k, la media di una

0

funzione sinusoidale in un tempo multiplo intero del suo periodo T è sempre nulla. Se, invece,

k’ = k, si otterrà un risultato diverso da zero.

Tenuto conto di questi fatti si ha:

1 −2

= () =

∫ 0

(1.3)

1 1

= () ( 2 ) − () ( 2 )

∫ ∫

0 0

I coefficienti X dello sviluppo in serie di Fourier risultano quindi quantità complesse e possono

k

essere espressi in coordinate cartesiane o polari:

= [ ] + [ ] | |

= ∙ (1.4)

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Appendice Serie e trasformata di Fourier - 2

L’insieme di tali coefficienti, rappresentati in funzione delle frequenze discrete kf o più

0

semplicemente in funzione dell’ordine k della generica armonica, è lo spettro a righe del segnale

periodico x(t). Si veda in Fig.1.2, come esempio, la rappresentazione della parte reale e della

parte immaginaria dei coefficienti X dello sviluppo in serie di Fourier di un segnale reale.

k

Fig.1.2 - Coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier (parte reale e parte immaginaria).

Per un segnale reale, lo spettro di parte reale Re[X ] è una funzione pari della frequenza, mentre

k

lo spettro di parte immaginaria Im[X ] è una funzione dispari.

k

Allo stesso modo, lo spettro del modulo |X | presenta una simmetria pari, mentre quello della

k



fase ha simmetria dispari.

k

Tali condizioni di simmetria si possono anche esprimere brevemente, introducendo la forma

coniugata, indicata con l’asterisco (*), del numero complesso X :

k

∗

=