Schema riassuntivo Campi elettromagnetici

Condizioni al contorno

Condizioni che devono rispettare i campi all'interfaccia tra i mezzi, i campi sono liberi di muoversi nel mezzo.

Il disegno rappresenta la separazione tra due mezzi con caratteristiche diverse.

• Z = interfaccia → sup di discontinuità
• Z ≠ S_i

Si studiano la comp. normale, tangenziale e la J.

Componenti Normali

Gauss:

_S∮n̅·D̅_s dS = _v∫ ρ_cdt

Detto questo, riscrivo:

lim _n→0∫_Sn̅₁D₁dS + ∫_Sn̅₂D₂dS + ∫_Sn̅₃D₃dS = _v∫ ρ_cdt

Quindi:

∫_S1n̅₁D₁dS + ∫_S2n̅₂D₂dS = ∫_Sρ_sdS

∫_S(D₁-D₂)dS = ∫_Sρ_sdS

Si enunciano così le due condizioni (la θ per dualità):

1. n̂·(D̅^--D̅⁺) = ρ_s
2. n̂·(B̅^--B̅⁺) = ϕ_s

Se è vera in mezzo, la θ può variare.

Infine esplicitati i vettori interessati:

∫D̅ⁿ₋ − D̅ⁿ₊ = ρ_s

B̅ⁿ₋ = B̅ⁿ₊

Scalari!

Condizioni al contorno

Condizioni che devono rispettare i campi all'interfaccia tra i mezzi. I campi sono liberi di muoversi nel mezzo.

Il disegno rappresenta la separazione tra due mezzi con caratteristiche diverse.

• Z = interfaccia → sup di discontinuità
• Z ≠ S₃

Si studiano la comp. normale, tangenziale e la J.

Componenti normali

Gauss: ∮_s n₂ · D ds = ∫_v ρ _v dv

• ∫_S2 n₂ D₂ ds + ∫_S3 n₃ D₃ ds = ∫_pdc ρ _v dv

Considero h→0 = t schiacciato:

• S₂ = S
• S₁, S₃
• n₂, n = n₁, -n
• D₁ - D^-
• D₂ - D⁺
• misura (S₃)→0, misura (τ)→0

Detto questo riscrivo:

• lim ∫_S1 n₁ D₁ ds + ∫_S2 n₂ D₂ ds + ∫_S3 n₃ D₃ ds = ∫_pdc ρ _v dv

(∇·D = ρ se intero su tutto v e poi applichi div)

lim_h→0 ∫_pdc ρ _v dv = lim_h→0 ∫_Sh ρ dA ds = ∫_S lim_h→0 [ρ d/h] ds = ∫_S ρ_s ds

Quindi:

• ∫_S1 n₁ D₁ ds + ∫_S2 n₂ D₂ ds = ∫_S ρ_s ds
• ∫_S (D⁺ - D^-) ds = ∫_S ρ_s ds

Si enunciano così le due condizioni (la 2) per dualità):

1. n̂ · (D⁺ - D^-) = ρ_s
2. n̂ · (B⁺ - B^-) = 0

alla sup di separazione tra due mezzi, la comp. normale del vettore induzione elettrica subisce una discontinuità pari alla densità suρ di carica

alla sup di separazione tra due mezzi, la comp. normale del vettore induzione ne magnetica è continua (ρ _s car>nulla magnetiche)

la 2 è vera ɜ_mezzo quindi B _n può variare. Infine esplicitan do i restodi interesati:

• ∫_S Dⁿ⁺ - D^n- = ρ_s
• B_n⁺ = B_n^-

scalari!

Componenti Tangenziali

Prendo lo stesso cilindro di prima e parto dalla II° Maxwell ai contorni.

∇ × H = ∂D/∂t

∇ × H

∫_c*∇ × H ds = ∫_s ∂D/∂t + ∫J dt

Al primo termine applico th. rotore. Esplodendo quest’ultimo termine ottengo.

Quindi,

lim (n→∞) ∫_s1 n₂ x H₁ ds + ∫_s2 n₂ x H₂ ds + ∫_s3 n₃ x H₃ ds = ∫>_s ∂D/∂t + ∫>J dt

Ai contrario i non può essere ∞ in quanto J = +∞ per spessori infinitesimi (v mezzo perfett. conduttori) => J è legato a ρ d'uv. al continuità

lim (n→∞) ∫>J dt = lim (n→∞) ∫_s1 dh ds = lim (n→∞) ∫_s3 ds = 0 Js: densa di corrente superficiale [A/m]

per cui,• ∫ s1 n x H⁺ - H^- ds = Js x n• => (n x H⁺) x n = Js x n

enumerando le condizioni (e ragionando per assurdo):

1. ∫ ñ x (H⁺ - H^-)xî = Js
2. nnî x (E⁺ - E^-) = 0

CONDIZIONI AL CONTORNO SU J

Parto sempre dal cilindro ma considerando anche J_s

Parto con l'eq. di continuità.

∇ · J = -_{al lindro} ∂_t / ∂t

∯_v ∇ · J dt = ∯_v - ∂_t / ∂t dt

∮_{S tot} J · ĥ · ds

Ora applico th div: ∯_v ∇ · J dt = ∮_{S tot} J · ĥ · ds

Ora esplodo l'integrale:

∮_S1 J₃ ds + ∮_S2 J₃ ds + ∮_S3 J₃ ds = ∯_v ∂_t / ∂t dt

Faccio come prima riducendo ϵ:

lim_h→0 S_h→0 - J_h→0

J_h→0 = J_{_h→0} - J_{_}

Quindi si ha:

∮_s1 J · ĥ dS + ∮_s3 J₁ ds = - ∯_S3 J · ĥ ds = ∯_{S tot} ∂_t / ∂t dt

Come prima, avv. non sia J_{_} che ϵ che non sono limitate,

ecco allora:

lim_h→0 ∯_h ∂_h dh = lim_h→0 ∯_S3 J · ds = ↔ lim_h→0

Ora da questa ultima abbiamo ottenuto ϵ un int. a linea, quindi grazie al th. di Gauss-Green:

∮_S3 J₃ ds = ∮_S3 J₃ ds

J · ĥ = ϵ ∇ · J_S - operatore

quindi:

→ ĥ · (J^_ - J_{_}) = - ∇_s · J_S - ∂_t / ∂t

CASI PARTICOLARI

1. separazione tra due dielettrici perfetti

   • ∇ · X = 0 (non ho accumulo di carica)
   • ĥ · (D₁^_ - D₂^_) = 0

2. separazione tra conduttore perfetto e diel. perfetto

   • nei condutt. perfetto
   • ∇ · D = 0 (E = 0)

Teorema di Poynting

... è il teorema che descrive la conservazione dell'energia elettromagnetica.

a causa del lavoro compiuto dalla forza di lorentz, le cariche in moto possono acquistare o perdere energia. Tale energia si assume che venga immagazzinata col campo EM

nel tempo

prendo maxwell con le sorgenti impresse da noi (- ρ e indizeni)

∇ × E = - _∂B/_∂t

Ε = Ε₀ + Ε_J

∇ × H = J_m + _∂D/_∂t

E × ∇H - ∇ · E

∇ × H - J_m - _∂D/_∂t

Relazioni vettoriale applicate ad operatori differenziatori (uso ∇ come un vettore)

V₂ × V₃, V₃ × V₁, V₁ × V₂

definisco ora il vettore di Poynting come:

Π = E × H

dal punto di vista di U.d di misura: [^{m &doth;}] [^m] [¹] [¹] m² dentro potenza

il vettore e un vettore che indica la direzione degli identità di potenza potenza trasmessa con il campo em interno e perpendicolare ora E, H

quindi unendo il tutto ho

∇ · Π = - Dmi

relazione alocable su un ... che contenga J_m e J_e

∇ · Π d è p_d

relazione integrale del principio di conservazione dell'energia

Π = p dens di potenza sup [w/m²]

P_c = dissipata

P_e = immagazzinata

P_m, P = devono essere negativo è energia ceduta dalle sorgenti

Quindi:

1)

• Forza di Lorentz: forza esercitata da campo EM su una particella carica in movimento

F = q(E + v×B)

F∫E·dℓ = ∫E·dℓ · (E + v×B) ⇒ ρ (E × (E × B))

• moltiplico ū · ō:

→ ū · ō = ρ (ū·E + ū·(E × B))

→

L · s.o.t. nonD = ρE·E = σ

L · S.O. non1 nonD = ρE · (E · E) = σ_i ε_i E²

→ ρ_c = ³E

densità di potenza di conduzione:

• dens. dissipata × effetto Joule (
• dens. fornita da campo em alla dens. di corrente

2) Sorgenti:

• ρ_i = ℓ; ε dens di potenza fornita al campo em dalla densità di corrente impressa elettrica
• ρ_mi = - density ma di corrente magnetica impressa

Si ricorda che ρ_i, sono negative perché forniscono e sopra tutto note

• 3) Densità Potenza immagazzinata

ρ_H = H · ∂B/∂t → B = μ(r)H (L.S.O. nonD)

dW_m = μH dH

B = d(μH) , B = μ dH

ρ_H = -∂W_H / ∂t densità di potenza magnetica

W_m = ½ · B · H dens di energia magnetica immagazzinata!

D · ∂E = ε (r)E

ρ_E = ε(r) E

3) Densità Potenza immagazzinata

4) P = E × N

nella frequenza

Parteo da maxwell in p e moltiplico il primo per H^* e il secondo per E^*

Sottraggo:

Moltiplico -1/2 e integro su tau.

Per l'analisi P faccio riferimento alla dipendenza dal tempo di tipo commutato ale: valore medio in t = Real dei fasori

1. _Π(t)=Re Re[<E(w)xH(w)>e^-jw₀txRe[<H(w)e^jw₀t+H^*(w)e^-jw₀t>]=

Per i restanti P applico stesso ragionamento.

3. P_H(t)=Re
4. P_c(t)=Re
5. P_m(t)=Re
6. P_l(t)=Re