Schema riassuntivo Campi elettromagnetici

Incidenza obliqua

Quando l'onda incontra una superf di separazione tra due mezzi, l'onda che incide può passare al secondo mezzo, ma una parte viene riflessa.

1. Indente ⇒ _kⁱ, θⁱ
2. Riflessa ⇒ _k^r, θ^r
3. Trasmmessa ⇒ _k^t, θ^t

Per fare i calcoli optiamo per:

• opl = TEM ⇒ α = Ø ⇒ k = β

K = ω√με

Le 3 onde hanno solo componenti su:

1. indenete
• _kⁱ = k₁ ⁱ_x + k₃ ⁱ_z=_k1sinθ_xo + k₁cosθÂ_zo
2. riflessa
• _k^r = k₁ ^r_x + k₃ ^r_z = k₁sinθ _xo - k₁cosθÂ_zo
3. trasmessa
• _k^t = k₂ ⁱ_x + k_z ^to = k₂sinθ _xo + k₂cosθÂ_zo

L'onda indente e:

E_i(x_i,t) = _Eoⁱ e^(i(k_x+k_zz)_i

H_i(x_i,t) = _Hoⁱ e^(i(k_x+k_zz)_i

Alla separazione tra i mezzi (z= Ø) devono valere le condizioni al contorno in particolare quelle di continuità per comp tangenziali.

• ∫ x ( E_i-E_t) = Ø → Â ≅ Â_zØ.
• ∫ x ( H_t-H) = Ø.

Per cui Æ= and= k_t + k₂ = Ø e siccome onde e = x ŷ= Ø:

z_oo x [E_i e^ikx+k₁y - E₀^r e^{jkx+k₁yi] = Ø}

z_o x [H_i e^jkkxi_t + H^r e^{jkkxiy] = Ø}

Allora uguaglio k_x = k_xi = k_xt, e posso affermare:

1. Onda riflessa: k_x=k_xi
2. Onda trasmessa: k_x=k_xi

k₂sinθ^t = k₁sinθ⁹ legge di snell.

Se ( μ₄ ≠ μ₂) indica:

• √ελμε_t sinθ^t = √μ₁με_t sinθ
• √∈₁ sinθ = √∈₁ sinθ
• n₁sinθ = n₁sin(. θ^te_reε sinθ² = sinθ² ≤1 → ε₃ ≥ n₂

Incidenza e Polarizzazione

• Incidenza Obliqua

Quando l'onda incontra una superficie di separazione tra due mezzi l'onda che incide può passare al secondo mezzo, ma una parte viene riflessa.

Ora ho 3 onde: su due dielettrici:

• incidente → ^kᵢ, θᵢ
• riflessa → ^kʳ, θʳ
• trasmessa → ^kᵗ, θᵗ

Per fare i calcoli optiamo per:

• opu → TEM → ˆz = Ø → ^k = β_xˆx_x

Le 3 onde hanno solo componenti su ˆx e:

1. indente → ^k_i = k_iˆx₀ + k₁ˆz₀ =     = k₁sinθˆx₀ + k₁cosθˆz₀
2. riflessa → ^k_r = k_rˆx₀ - k₂ˆz₀ =     = k₁sinθˆx₀ - k₁cosθˆz₀
3. trasmessa → ^k_t = k_tˆx₀ + k₂ˆz₀ =     = k₂sinθˆx₀ + k₂cosθˆz₀

L'onda incendente è

E_I(x,t) = E⁰_I e^j(kᵢx+kiz)

H_I(x,t) = H⁰_I e^j(kᵢx+kiz)

Alla separazione tra i mezzi (z = Ø) devono valere le condizioni ai contorni in particolare quelle di continuità per comp. tangenziali

1. û × (E^- - E⁺) = Ø
2. û × (H^- - H⁺) = Ø ⇒ z = Ø

Per cui ^z₀ ≠ Ø → kz ± Ø

• E siccome onde e × ˆz = ŷ ≠ Ø:

1. ˆz₀ × [E⁰_I e^j(kix+kiz) - E⁰_r e^j(kix+k1yz)] = Ø
2. ˆz₀ × [H⁰_I e^-j(kix+kiz) + H⁰_r e^-j(kix+k1yz)] = Ø

Allora uguale k_t = k_i k_t = k_i e posso affermare:

1. onda riflessa: k'_x = k_x       k₂sinθ'^↓ k₁sinθ       θʳ = θᵢ    legge della riflessione
2. onda trasmessa: k_t' = k_t       k₂sinθ'^↓ k₁sinθ legge di Snell

ω/√μ₂ε₂ sinθ' = ω/√μ₁ε₁ sinθ

ε₂ sinθ' = ε₂ sinθ

nᵢ sinθᵢ = n₂ sinθ_t con n = √ε indice rifrazione

θʳ ∈ R' _e sinθ' = sinθ ≤ 1    ε₁ε₂ ≷ n₁ ≤ n₂

Polarizzazioni

L'onda incidente la presupponiamo piana uniforme e polarizzata ellitticamente; decomponendola posso avere 2 onde piane in polarizzazione lineare (casi di onda ellittica: somma di 2 onde piane).

Due casi possibili:

• ^E₀ se E_0m lungo y₀: E⁰_m = E⁰_m y₀ P.O.
• ^E₀ lungo x₂: H⁰_m = H⁰_m x_z P.V.

Polarizzazione Orizzontale

Questa tipologia di polarizzazione è a simmetria pari. Se l'incidente è orientato come E⁰ (uscente E) allora anche E^r riflesso sarà uscente.

Quindi:

1. H⁰_m = k¹ / ⍵μ₁ {sinθ₀ + cosθ₀} x E_0m y₀ = E_0m (sinθ²_b - cosθ^{2) / 3₁}
2. H⁰_m = k¹ / ⍵μ₁ {sinθ₀ cosθ₀} x E_0m y₀ = E_0m (sinθθ₀ - cosθ^{2₂}) / 3₁}
3. H⁰_m = k³ / ⍵μ₁ {sinθθ^{b + cosθθ₀} x E_0m y₀ = E_0m (sinθ2₀ - cosθ2) / 3₂}

Applicando condizioni al contorno (tangenziali):

Se ₀ = ⌀^-1

E_0m = Eⁱⁿ + E_0m

(Prodotto nullo)

Da cui ottengo

• Sen = E⁰_m ϑ^3₁ / 3^₁ ϑ_3₁ coeff. rifless.
• Ten = E⁰_m (E⁰_in + E^{0 / E_0m) Σ = 1 + Sen (coeff. trasm.)}

Polarizzazione Verticale

Questa polarizzazione e simmetrica dispari, se H_ov incidente e diretto come ĝ_o (entrante), allora H_ov riflesso sara entrante.

Ev giace su xz, H_ov = H_ov ĝ_o

Siccome simmetria dispari:

• H_ov = H_ov ĝ_o
• E_ov = -H_ov ỹ_o

Se prima H = k^e

ωμε → E = -k x H

ωε →

Per cui:

• Ĥ_ov = - k¹ x Ĥ_ov - (k₂/ωε₁^3/2)
• E^e_ov = - k^e x Ĥ_ov - (k₁/ωε₁) (Sinϑ² X_o - Cosϑ² Z_o) x Ĥ_ov ỹ_o
• E^e_ov = 3₁ Ĥ_ov (Sinϑ² Z_o + Cosϑ² X_o)
• E_z = - (k^e/ωε₂)

Per la condizione di continuità dei campi H ed E tanent:

• ỹ_o x [Ĥ_ov - (Ĥ_ov - Ĥ_ov)] ỹ_o = Ø
• Ỹ_o x [E_ov - E_ov + E_ov] = Ø

Siccome ĥ = ℓ = Ø:

Ẹx = [ -3₂ Ĥ_ov (Sinϑ² Z_o - Cosϑ² X_o) - (3₁ Ĥ_ov (Sinϑ² Ẑ_o - Cosϑ² X_o) X_o + 3¹ Ĥ_ov)]

Da cui ottengo:

Coefficiente di riflessione SH_v:

• S_lv = H_ov (_-3/3 (Cosϑ₂ + Cosϑ))

TH_v = H_ov - H_ov

Ƶ₁ - S_lv

Coefficiente di trasmissione SV_e:

• S_lv = E_ov (_-3/3 (Cosϑ₂ + Cosϑ))

T_v

Onda incidente (pol. verticale)

L'onda incidente viene tutta trasmessa senza avere riflessioni. Solo trasmissione.

Snell: \(k_2 \sin \theta'' = k_1 \sin \theta'\)

\(\frac{\sin \theta''}{\sin \theta'} = \frac{\mu_1 \varepsilon_1}{\mu_2 \varepsilon_2}\)

\(\theta'' + \theta' = \theta\). Se\(_v\) = \(\emptyset\)

\(\theta' + \theta'' = \theta = \emptyset\) -> \(\sin \theta'' = \sin \theta'\)

\(k_2 = k_1 \times \frac{\sin \theta''}{\sin \theta'}\)

\(\theta'' = \text{arctg}\left(\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\right)\) Angolo di Brewster (trasmissione tot)

2) Riflessione Totale (per \(\nu > \nu_3\))

L'onda incidente non riesce a passare, viene completamente riflessa senza avere trasmissione.

Snell:

\(\sin \theta'' = \frac{\mu_1 \varepsilon_1}{\mu_2 \varepsilon_2} \sin \theta' \leq 1\)

Indice rifrazione: \(v_1 < v_2\), \(\sqrt{\varepsilon_1} < \sqrt{\varepsilon_2}\)

\(\theta_I\) sale e \(\theta''\) aumenta. Fino ad un valore limite \(\theta''\)

\(\theta_L = \text{arcsin}\left(\frac{\mu_2 \varepsilon_1}{\mu_1 \varepsilon_2}\right)\) Angolo limite

Incidenza obliqua su buon conduttore

In questo caso ho due materiali:

• Dielettrico
• Buon Conduttore, no perdite

Le onde hanno caratteristiche diverse!

• Incidente: TEM -> θ = θ_i
• Trasmessa: α ≈ ∅ (σ >> ω)

Per la continuità dei campi in z = 0:

α_i = α_t = ∅ -> β_t = β_i

Siccome α^t ≈ α_{z = 0}, vuol dire che l'onda si attenua penetrando nel mezzo.

Ricordiamo che:

|k|² = κ•k = ω²με - (ω²μσ)

|k| = β - jα   →  (β - jα)(β - jα) = β² - α² - 2jβα

Applichiamo ora al buon conduttore:

β² - α² ≈ ω²μεσ   →   β²αcosθ' ≈ ωμσ/2

  ⊢   |β^t < κ^t|

  ⊢   |βⁱ| ≈ ∅

Inoltre |k^t| = |kⁱ| ≈ β^tsinθ' = k_xsinθ' → sinθ' = k₁sinθ'/β_t

Quindi l'onda trasmessa com'è?

sinθ &LESS_EQUAL; k_isinθ'   →   ωμσεsinθ' = [2ωμεσ]sinθ' =

[2ωεσ]sinθ'   →   sinθ' << 1   →   θ' ≈ ∅

L'onda trasmessa risulta quindi quasi TEM, che si attenua lungo z₀

  -> dimostrato l'effetto pelle