Proprietà fisiche dei fluidi

CAPITOLO SECONDO

2. PROPRIETÀ FISICHE DEI FLUIDI

2.1 Schema di mezzo continuo

Gli strumenti dell'Analisi Matematica illustrati nel Capitolo 1 richiedono, per la loro applicabilità, la

regolarità delle funzioni che descrivono i campi delle grandezze di interesse. I fluidi, come del resto

i solidi e la materia in generale, sono tuttavia mezzi essenzialmente discontinui, essendo composti di

molecole poste a distanze reciproche grandi rispetto alle proprie dimensioni e caratterizzate da

movimenti rapidi e irregolari. Le molecole, a loro volta, sono composte di atomi; gli atomi di

particelle elementari, anch'esse in rapido movimento su distanze anche molto maggiori delle proprie

dimensioni. Da tali caratteristiche è quindi evidente che le grandezze fisiche misurabili in un punto,

quali velocità, accelerazione, etc…, sono anche discontinue nel tempo e, in definitiva, anche a essere

in grado di determinarle compiutamente, di scarso interesse pratico, almeno nell'ambito dello studio

dell'Idraulica. Si pensi, a tale proposito, che quello che possiamo definire, da un punto di vista

macroscopico, pratico e applicativo, un fluido in quiete è in realtà anch'esso sede di moti caotici delle

–

molecole che è infatti la causa, nel caso si tratti di un liquido, della sua evaporazione. Tuttavia, il

carattere macroscopico di quiete del fluido deriva dal fatto che, determinato un volume contenente

un numero di molecole sufficientemente alto, il valore medio della velocità delle molecole è, a meno

di uno scarto trascurabile, nullo.

La chiave per l'interpretazione del comportamento dei fluidi (ma lo stesso vale per i solidi)

mediante gli strumenti matematici richiamati in precedenza consiste nell'ammettere, in

considerazione delle ridottissime dimensioni delle molecole per confronto con le dimensioni delle

porzioni di fluido di interesse pratico, che un numero sufficientemente alto di molecole, tale da

fornire valori medi statisticamente significativi della grandezza di interesse, sia contenuto in volumi

di dimensioni caratteristiche molto minori di quelle entro le quali si desidera rilevare eventuali

variazioni della grandezza (per esempio: il raggio di una tubazione a sezione circolare nel caso di un

liquido in movimento entro essa, nell'ambito del quale la velocità passa dal valore nullo alla parete,

al valore massimo sull'asse della tubazione). Mentre nell'esempio del fluido in quiete è evidente che

maggiore è il volume considerato, più accurata sarà la media (nulla) della velocità, nel caso di un

fluido in movimento il problema è più sottile, occorrendo che il volume sia al tempo stesso non

troppo piccolo, in modo da contenere un numero di molecole sufficientemente alto da fornire una

media statisticamente significativa della grandezza in esame, ma anche di dimensioni

sufficientemente ridotte perché, in buona sostanza, la misura possa essere considerata praticamente

puntuale rispetto alla variabilità nello spazio del campo in esame. A un volume di fluido che soddisfi

tali requisiti viene dato il nome di particella fluida.

Consegue da quanto detto che le dimensioni che possono essere assunte per una particella fluida

varino da caso a caso: potranno essere, ad esempio, molto maggiori nel caso di un'onda di marea, di

periodo dell'ordine di 12 ore e lunghezza dell'ordine delle decine o centinaia di chilometri, piuttosto

che nel caso di un'onda prodotta dal vento, avente periodo dell'ordine di alcuni secondi e lunghezza

dell'ordine delle decine o centinaia di metri. In linea di principio, tali valutazioni dovrebbero essere

effettuate di volta in volta, a seconda del problema in studio, al fine di verificare la possibilità stessa

di individuare la particella fluida come definita in precedenza. Tuttavia, in pratica, l'essere stato

riconosciuto ciò possibile per la generalità dei problemi di interesse dell'Idraulica conduce, in ultima

analisi, semplicemente al ritenere ammissibile l'assimilazione del fluido, nella realtà come s'è detto

discontinuo, a un mezzo continuo (schema di mezzo continuo), suscettibile pertanto di

rappresentazione mediante gli strumenti matematici richiamati nel Capitolo 1.

In effetti, tutti gli strumenti dell'analisi infinitesimale, essendo basati sul concetto di limite, sono

in realtà rigorosamente compatibili con il concetto di particella fluida di dimensione finita. Lo

sviluppo in serie di una funzione di più variabili (21) mostra infatti che la variazione di una funzione

37

nell'intorno di un punto è rappresentabile mediante il differenziale (18) a meno di scarti trascurabili

purché, per l'appunto, le dimensioni dell'intorno siano sufficientemente ridotte. In altri termini, tutti

i fenomeni di interesse del corso potranno senz'altro studiarsi attraverso una descrizione dei campi

delle grandezze nell'ambito dello schema di mezzo continuo, assumendo sempre di poter individuare

volumi (particelle fluide) le cui dimensioni siano, oltre che non troppo piccole perché possano

ottenersi valori medi statisticamente significativi della grandezza in esame, anche sufficientemente

ridotte per consentire di sviluppare la funzione rappresentativa del campo della grandezza in serie di

Taylor arrestata al primo ordine su distanze dell'ordine di tali dimensioni. Tutto ciò precisato, nel



, etc…), superfici (dS, , etc…)

prosieguo si farà perciò di norma riferimento a spostamenti (ds, dx d

i

o volumi (dV) elementari intesi infinitesimi, salvo eventuali eccezioni in cui risulti conveniente

evidenziare il volume della particella fluida, V . Inoltre, i campi delle varie grandezze che verranno

P

considerate si intendono descritti da funzioni dello spazio e del tempo continue, derivabili e a derivate

continue fino all'ordine che occorre, di volta in volta, per utilizzare i vari teoremi dell'Analisi

richiamati nel Capitolo 1 (genericamente dette regolari).

Le leggi fondamentali della Meccanica sono di norma introdotte, così come sono state richiamate

nel capitolo precedente, ricorrendo all'astrazione del punto materiale, ossia un punto nel quale si

intenda concentrata una massa finita. Sebbene il ricorso a tale astrazione venga giustificata con

–

argomentazioni simili a quelle che consentono di definire il concetto di particella fluida un corpo

può essere schematizzato come punto materiale se possiede dimensioni lineari molto minori di quelle

–

caratteristiche dell'ambiente in cui si muove i due concetti non sono equivalenti, perché, per

l'appunto, il punto materiale è un'astrazione, mentre la particella fluida è un ente reale, di dimensioni

finite, fisicamente ben definito e individuabile, anche se non univocamente. In particolare, mentre

l'astrattezza del punto materiale si esplica nella proprietà singolare di possedere una densità infinita

(massa finita su volume nullo), tale eventualità è esclusa dallo schema di mezzo continuo, il cui

carattere di astrattezza è, al contrario, legato alla continuità dei campi (con eventuali singolarità

localizzate, peraltro non legate alla struttura della materia e, comunque, non riguardanti gli argomenti

del corso) e, in particolare, alla distribuzione non singolare della densità. Ciò nondimeno, almeno

per quanto riguarda alcuni aspetti del movimento di una singola particella, questa potrà essere

efficacemente schematizzata come punto materiale, conforme sia alla giustificazione sopra

richiamata, che, più sostanzialmente, sulla base del fatto che il baricentro di una particella fluida,

come di un qualsiasi sistema meccanico, si muove nel rispetto delle leggi postulate per il punto

materiale, equazione (62).

Per quanto riguarda le leggi fondamentali della meccanica, lo schema di mezzo continuo richiede

di esprimere in termini di integrali su porzioni continue di fluido le grandezze presentate nel capitolo

precedente con riferimento al caso discreto (insieme di punti materiali), secondo l'approccio

generalmente seguito nei corsi di base specifici, in termini di sommatorie di quantità competenti ai

punti materiali. Tali formulazioni integrali verranno introdotte caso per caso nel prosieguo.

2.2 Definizione di fluido

A livello microscopico, i fluidi si distinguono dai solidi per la mobilità delle loro molecole, che

consente loro di subire variazioni di forma molto maggiori a parità di forze applicate. Inoltre, tali

deformazioni sono permanenti, mentre un solido riacquista la forma iniziale al cessare delle azioni

–

che ne avevano determinato la deformazione per lo meno nel caso, abbastanza comune e spesso

considerato desiderabile ai fini tecnici, di comportamento elastico. Infine, tipicamente, le piccole

resistenze che i fluidi in movimento oppongono alle deformazioni, si annullano in condizioni di

quiete. Conseguentemente, i fluidi tendono ad assumere la forma del recipiente che li contiene. I

fluidi possono essere suddivisi in liquidi e aeriformi (o gas) a seconda della resistenza che essi

oppongono ad azioni tendenti a modificarne il volume, ossia, a seconda della loro maggiore o minore

comprimibilità: i liquidi sono fluidi poco comprimibili; gli aeriformi molto comprimibili.

Naturalmente, un aeriforme, in quanto molto comprimibile, tende anche a dilatarsi liberamente e

occupa perciò interamente il volume di un recipiente chiuso che lo contenga.

38

x x

2 2

P P

2 2 P '

2 



dx dx d

x

2 2

2

P P P '

t t + dt

1 1 1

x x

1 1

Figura 14. Velocità di deformazione di un volume fluido nel moto fra pareti piane parallele

scorrevoli.

I concetti fin qui riassunti rimandano, in sostanza, alla distinzione fra solidi, liquidi e aeriformi della

Fisica elementare: i solidi hanno forma e volume propri; i liquidi hanno volume proprio ma non

forma propria; gli aeriformi non hanno forma né volume propri. Tali criteri di riconoscimento sono

evidentemente riferiti a condizioni di quiete dei fluidi. Sebbene in precedenza siano state indicate

alcune peculiarità del comportamento dei fluidi in movimento, a tali condizioni può essere riferita

una definizione più puntuale, che ha il pregio di evidenziare alcune caratteristiche fisiche importanti

del comportamento dei fluidi, rappresentabili in termini quantitativi.

Si consideri il caso di un fluido, per esempio acqua, interposto fra due pareti piane parallele poste



a distanza molto piccola x (Figura 14), di cui una fissa e un'altra posta in movimento da una forza

 2

F avente direzione identificata da un asse x complanare alle pareti, a partire da condizioni di quiete

1

del fluido. Dopo un certo periodo di tempo, durante il quale le velocità aumentano progressivamente

mantenendosi ovunque parallele all’asse

(transitorio), x , si perviene a una situazione di regime

1

caratterizzata da una distribuzione lineare delle velocità nella direzione x perpendicolare alle pareti

2

piane, identica su piani paralleli al piano cartesiano x x (moto piano) e rappresentabile, pertanto, in

1 2

termini del solo modulo u(x ). Il fluido aderisce perfettamente alle pareti, per cui il valore massimo

2

della velocità del fluido a contatto con la parete superiore è anche la velocità della parete.

Si consideri, all'interno della massa fluida, un volume parallelepipedo di cui in Figura 14 è

riportata la sezione sul piano x x e le particelle fluide aventi i propri baricentri nei punti P e P

1 2 1 2

inizialmente coincidenti con gli estremi del lato della sezione parallelo all'asse x , di lunghezza dx .

2 2

A partire da un generico istante di tempo t, relativo a condizioni di regime raggiunto, si consideri la

deformazione del parallelepipedo (e della sua sezione rettangolare) in un intervallo di tempo

elementare dt, durante il quale le due particelle si portano nelle posizioni P ' e P ', avendo percorso

1 2

le distanze date da u(P ) dt e u(P ) dt. Sulla base dello schema di mezzo continuo introdotto nel §2.1,

1 2

la velocità nel punto P (come in tutti i punti aventi stessa coordinata x ) si può esprimere come:

2 2



( ) ( ) u

= +

u P u P d x .



2 1 2

x 2

Conseguentemente, la maggiore distanza percorsa dalla particella centrata inizialmente nel punto P

2

rispetto alla particella centrata inizialmente nel punto P è data da:

1



u

=

d s d x d t

 2

x 2

Trattandosi di una quantità piccola rispetto al lato dx della sezione, perché contenente a fattore la

2

piccola quantità dt, l'angolo di rotazione del segmento congiungente i baricentri delle particelle

intervenuto nell'intervallo elementare dt può essere espresso come: 39

  

d s d s u

 

 =  =

d arctg d t .

  

 

d x d x x

2 2 2

Tale angolo esprime la deformazione del parallelepipedo nell'intervallo dt. La rapidità con cui tale

deformazione ha luogo (velocità di deformazione) è espressa da:

 

 u

d u

= = 1 , (68)

 

d t x x

2 2

avendo evidenziato a terzo membro che il modulo della velocità u coincide con la sua componente

nella direzione x . Poiché si tratta di condizioni di regime, invariabili nel tempo, concludiamo che il

1

fluido in esame, soggetto a una sollecitazione costante rappresentata dallo scorrimento a velocità



– F

costante di un piano rispetto all'altro o, se si preferisce, dalla forza costante che induce lo

–

scorrimento in condizioni di regime è soggetto a una velocità di deformazione anch'essa costante

nel tempo, finita e misurabile. Potremmo quindi anche definire fluido una sostanza che soddisfa tale

requisito. Un comportamento di questo tipo implica evidentemente che a una sollecitazione nulla

corrisponda anche una velocità di deformazione nulla.

Una caratteristica importante del processo di deformazione del fluido descritto in precedenza è

che esso avviene in assenza di variazioni di volume del fluido, perché l'area della sezione deformata,

che è un parallelogramma, è pari a quella della sezione rettangolare al tempo t. La definizione

alternativa di fluido introdotta con riferimento a questo esempio è in effetti da intendersi riferita

unicamente a deformazioni (e corrispondenti velocità di deformazione) a volume costante, del che è

facile convincersi dall'esempio seguente. – –

Si consideri un recipiente contenente un aeriforme per esempio, aria chiuso dalla testata di un

pistone sul quale viene esercitata una forza di modulo costante F a esso normale e tale da indurre una

compressione dell'aeriforme, come da schema riportato in Figura 15. Partendo, ad esempio, da

condizioni di pressione atmosferica dell'aeriforme, dopo un tempo sufficientemente lungo dall'inizio

dell'applicazione della forza si perviene a una condizione di equilibrio statico, in cui la forza esterna

F è bilanciata d