Proprietà dei fluidi: teoria

Proprietà dei fluidi

Sistema continuo

Sistema continuo: sistema a cui sono associabili proprietà caratteristiche e variabili con continuità da punto a punto.

Proprietà estensive: dipendono dalla dimensione del sistema, es. massa, volume, quantità di moto.

Proprietà intensive: non dipendono dalle dimensioni del sistema, es. temperatura, pressione e densità.

Densità

Densità: massa dell'unità di volume.

ρ = m/V [ρ] = [Kg/m³]

ρ(x,t) = lim (ΔV→ε) ΔM/ΔV

ρ = ρ(p, T)

Per l'H₂O a Tambn 20°C → ρ = 998 Kg/m³

L'inverso della densità si chiama volume specifico.

Volume dell'unità di massa.

Densità relativa

Densità relativa: ρ di una sostanza espressa in rapporto alla ρ di un'altra sostanza.

R_R= ρ/ρ_a

ρ_a: sostanza standard ad una T specificata, di solito H₂O a T 4°C con ρ_H2O=1000Kg/m³.

es.: R_RH2O=1g/cm³

R_R(ghiaccio-T=0°C)=0,916g/cm³

R_R(benzina)=0,68g/cm³

R_Rolio=1,93g/cm³

Se R_R<1, galleggiamo sopra l'H₂O.

B) Proprietà dei fluidi

Sistema continuo

Sistema continuo: sistema a cui sono associabili proprietà caratteristiche variabili con continuità da punto a punto.

Proprietà estensive: dipendono dalla dimensione del sistema es. massa, volume, quantità di moto.

Proprietà intensive: non dipendono dalle massa del sistema es. temperatura, pressione e densità.

Densità

Massa dell'unità di volume.

ρ = ^m/_V [ρ] = [Kg/m³]

ρ(x, t) = lim_ΔV→ε ΔM/ΔV

ρ = ρ(p, T)

Per l'H₂O a T_amb 20°C -> ρ = 998 Kg/m³

L'inverso della densità si chiama volume specifico.

Volume dell'unità di massa.

Densità relativa

ρ di una sostanza espressa in rapporto alla ρ di un'altra sostanza.

ρ_R = ^ρ/_ρa

ρ_a: sostanza standard ad una T specificata di solito H₂O a T 4°C con ρ_H2O = 1000 Kg/m³.

Essendo ρ_H2O = 100 Kg/m³ la ρ_R è uguale al valore delle densità espresso in g/cm³ o Kg/L.

(1 m³ = 1000 L)

• Esρ_R,_H2O = 1 g/cm³
• Ghiaccio (T=0°C) = 0,916 g/cm³
• Benzina = 0,68 g/cm³
• Oro = 19,3 g/cm³

{ ρ_R galleggiamo sopra H₂O }

Peso specifico

Peso specifico: peso dell’unità di volume di una sostanza = _p/^v = _w/^w → = . g   [] = [N/m³]

_H2O (T_amb = 20°C) = 9806 N/m³

Densità e peso specifico sono funzioni della pressione e della T.

Densità dei gas perfetti

Equazione di stato: l’espressione che mette in relazione tra di loro la p, la T e la di una sostanza.

pW = RTT(K) = T(°C) + 273,15

R = costante dei gas= _Ru/^MM   Ru = cost. universale dei gas MM = massa molecolare del gas.

Ru = 8,314 J/mol·K

[MM] = [kg/mol]

Gas perfetto = gas che segue l’eq. di stato dei gas perfetti.

Per un gas perfetto l’eq. si può scrivere anche: pW = MRT.

Gas reale a basse densità → Gas perfetto.

Energia e calori specifici

e = energia totale per unità di massa.

e = ei + gz + V²/2

ei: energia interna del sistema.

ep = gz: energia potenziale del sistema.

ec = V²/2: energia cinetica.

Entalpia

Entalpia: somma dell'energia interna e dell'energia di pressione.

h = ei + (P/)

Nel SI [e] = [Joule]

1 caloria = 4,1868 J

1 cal = energia necessaria per aumentare di 1°C la T di 1g di H₂O a 14,5°C.

Calore specifico

Calore specifico: quantità di calore necessario per aumentare di 1°C la temp di unità di massa di una sostanza.

Calore specifico a pressione costante Cp.

Calore specifico a volume costante Cv.

Cp = (h/T)_P

Cv = (h/T)_v

Pressione

Pressione: rapporto tra le forze applicate sulla superficie limite e Newton/m² = Pa.

1 bar = 10⁵ Pa

mm Hg = 133,322 Pa

1 atm = 101,325 Pa

Coefficiente di comprimibilità

_p2 > _p1

Il volume di un fluido varia al variare della T e della ϱ

T ↑ → W ↑

T ↓ → W ↓

ϱ ↑ → W ↓

ϱ ↓ → W ↑

Comprimibilità è: proprietà di un fluido di modificare il proprio volume (e quindi la propria densità) al variare della pressione alla quale esso è assoggettato.

Si può definire un Modulo di elasticità a compressione cubica (ϵ).

A T = cost se Δp >> 0 applicato a un volume di fluido W → diminuzione di volume ΔW proporzionale a Δp e a W.

ΔW = -W_. Δp / ϵ

Per la conservazione della massa:

W = cost ∫_v dW + W dϱ = ϱ

Da cui: dW / W = -dϱ / ϱ

E quindi: dϱ / ϱ = Δp / ϵ , conseguentemente:

ϵ = -W (∂p / ∂W)_T = ϱ (∂p / ∂ϱ)_T

[ϵ] = [pressione] → (N/m²) = (Pa)

E rappresenta la variazione di pressione che corrisponde ad una variazione relativa unitaria di volume a T = cost.

E = ∞ per una sostanza incomprimibile.

E ≫ ⇒ fluido quasi incomprimibile.

Liquidi: per molti problemi pratici T = cost.

E_H2O (T=10°C) = 2,1 x 10⁹ Pa = 21,000 bar.

La pressione deve essere alzata di 210 bar affinché il volume di H2O si riduca dell’1%.

⇒ La comprimibilità dei liquidi può essere trascurata.

Gas: vale l'eq di stato dei gas perfetti.

E = M p con 1 ≤ M≥ 1,67 (isoterma, adiabatica).

E_aria ≈ 9,806⋅10⁴ ≅ 1,10⁵ N/m²

⇒ I gas sono per definizione molto comprimibili.

Sforzi nei sistemi continui

Tensione: forza agente per unità di area.

• Componente normale o tensione normale. In un fluido in quiete è detta pressione.
• Componente tangenziale.

Nello studio dei sistemi continui, si possono distinguere due tipi di forze:

Forza di massa (F_M) = forza di gravità.

Forza di superficie (F_S): forza esercitata sul sistema attraverso la sua superficie di contorno.

Un sistema continuo è in equilibrio quando:

∑F_m + ∑F_s = φ

Per mantenere il sistema in equilibrio bisogna ammettere alla superficie di separazione un complesso di forze tale per cui il equilibrio sia ancora verificato.

Per ogni anello di sup. dA agisce una forza d_Γ.

Sforzo unitario lim _dA→0 (d_Γ/dA) = φ_M [φ_M] [N/m²]

Spinte elementare su dA: d_Γ = φ_M dA con d_Γ = [F] = [N].

C_n ⇒ comp normale → variazioni di volume.

C_t ⇒ comp tang → variazioni di forma.

Sull'intera superficie di separazione per l'equilibrio dante agire una forza pari a:

Γ̅ = ∫_A φ_M dA n: versore normale alla sup. dA.

Per i fludi due situazioni:

• Fluidi in quiete: γ = φ, σ = f(z)
• Fluidi in moto: γ = f(x, y, z, t), σ = f(x, y, z, t)

σ può essere o di compressione o di trazione → in meccanica dei fluidi → sforzi normali e compressione.

Viscosità

Viscosità: coeff. che esprime il legame fra sforzi tangenziali e velocità di deformazione, si manifesta quando il fluido è in moto.

Rappresentativa della resistenza interna al moto.

Studio della viscosità (esperienza ideale).

Strato di fluido posto fra due lastre piane parallele.

• Lastra di area A in moto a velocità V per effetto della F^T
• F^T forza tangenziale necessaria a mantenere in moto la lastra superiore

Sforzo tangenziale:

N = F^T / A = μ (∆V / ∆y)

Fluido a contatto con la lastra inferiore -> V = ᶲ

Se moto permanente e laminare -> velocità del fluido varia linearmente tra il valore nullo e il valore V.

Profilo della velocità: ∆x(y) = yV/d∆x: velocità generica nel pt.

F^T = γ · A = μ A (∆V / ∆y)

-> La forza F^T necessaria per far muovere la lastra superiore alla velocità costante V vale F^T = μA ∆V / d.

Momento di calcolare μ attraverso la misura della forza F^T.

Legge di Newton:

_dr_d = ^d _d

Direzione del moto.

Viscosità dinamica del fluido.

Non dipende allo stato di sforzo.

Fluidi di Newtoniani.

Vapore di = cost.

Liquidi → se Θ → es. H₂O_o = _l ¹_o = _oC = 1.773^•10₅ N•s/m₂

Viscosità cinematica

Viscosità cinematica: D = _E{@D} = [m₂/s]

H₂O = 10₅ m₂/s

La viscosità di un fluido dipende sia dalla pressione che dalla temperatura (ma la dipendenza dalla pressione è debole → trascurabile).

Lo sforzo tangenziale si può legare alla deformazione angolare.

In un interuallo di tempo dt la lastrina superiore percorre:

dx = V•dt (dist. infinitesima)

→ Le particelle di fluido collinate lungo M•N → M'N' ruotano di un angolo infinitesimo dα.

d = deformazione angolare.

d = tg d = _{d dY} . dt → d_d = _{d dm} . dt de cui:

V = ^d _ddm o ^d _dd1