LACOSTE (Laboratorio Computazionale di Scambio Termico) - metodi

Equazione di conservazione dell'energia

()() − ∇ ∙ ∇(()) = ⃛ ( + + )= ( ) + () + + ⃛ con densità, calore specifico, termine di advezione, termine di conduzione, forze + ( ) () di pressione, dissipazione viscosa, irraggiamento (sorgente).

Trasporto energia in un solido

Trasporto energia in un solido = ( ) + ⃛ (no convezione, no lavoro di pressione (velocità nulla), no dissipazione (viscosità infinita).

• 0D transitorio > ODE (1° ordine) con FE, BE, CN
• 1D stazionario > ODE (2° ordine) con DF centrate se k=cost, eq non lineari se k(T)
• 1D transitorio > PDE paraboliche
• 2D stazionario > PDE ellittiche
• 2D transitorio > PDE ellittiche

Trasporto energia in un fluido (pure advection)

Trasporto energia in un fluido (pure advection) ( + )= ( ) + ⃛ (no conduzione, no lavoro di pressione, no dissipazione viscosa).

• 1D pure advection (transitorio) > PDE iperboliche

Trasporto di energia in solido+fluido

Trasporto di energia in solido+fluido (advezione + diffusione) ℎ = ( ) + ⃛ − ( − )( ) ℎ ( + )= ( − )( ) ( ( = 0) = = 0) = { (un’equazione per il solido e una per il fluido).

1D transitorio

Problema della conduzione 1D in regime stazionario (ODE)

Approssimazione derivate con differenze finite (DF)

−+1 (∆) In avanti convergenza 1° ordine | = + ∆

Derivata 1° − 2+1 −1 (∆ ) Centrate convergenza 2° ordine | = + ∆

− −1 (∆) All’indietro convergenza 1° ordine | = + ∆

+1 − − −11 1 −2 − 2 + + − +1 −1∆ ∆² 2| = = = =( )

Derivata 2° conv 2° ordine 2 2 ∆ ∆ ∆

Imposizione di condizioni al contorno (BC: Boundary Conditions)

Dirichlet (T imposta): = =⋯ ̈ > 0

Neumann (flusso imposto): ̈ = − ={|=⋯ 0 ( ) =⋯ℎ ( − ) ∞

Robin (convezione): | ={̈ = −=⋯ ℎ ( − ) =⋯ 1 ∞+

Interfaccia (conservazione flusso):( )

Dirichlet: = − 2 1 ∆( )

Robin: = ℎ − ∞ 1 2 ℎ

Nota: se superficie laterale di scambio: = −̈ + ( − ) ∞² 2con se dissipazione elettricä = = =

Soluzione di problemi in coordinate cartesiane e radiali (k=cost)

20 = ∇ + ̈ ²con 2 ∆ : cartesiane ( )= ² 21 1 cilindriche ( )= + ² 22 ² sferiche ( )= + ²

Discretizzazione alle differenze finite (DF) centrate

…2∆ − 2 + =− ̈+1 −1

Condizioni al contorno

…T=A\b

Soluzione: non linearità del problema