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Limiti notevoli

funzioni goniometriche

  • limx → 0 (sen x) / x = 1
  • limx → 0 (tg x) / x = 1
  • limx → 0 (1 - cos x) / x = 0
  • limx → 0 (arcsen x) / x = 1
  • limx → 0 (1 - cos x) / x2 = 1/2
  • limx → 0 (arctg x) / x = 1
  • limx → 0 (arc cos x)2 / (1 - x) = 2
  • limx → 0 (sen mx) / (sen nx) = m/n

funzioni esponenziali e logaritmiche

  • limx → 0 (1 + 1/x)x = e
  • limx → 0 (1 + x)1/x = e
  • limx→0 loga(1 + x) / x = loga e
  • limx→ 0 ln (1 + x) / x = 1
  • limx→0 (ax - 1) / x = ln a
  • limx→ 0 (ex - 1) / x = 1
  • limx→0 (1 + x)1/x = k
  • limx→0 xx / ax = 0
  • limx→+∞ a1/n = 1 se a< 1
  • limx→+∞ 1 / (1 + an) = 1/2 se a = 1
  • limx→+∞ a1/n = 0 se a > 1

Asintoti di una funzione

asintoto verticale x = x0

  • dove si cerca:
    • nei punti x0 di discontinuità della funzione
    • nei punti agli estremi del dominio di f(x) se sono finiti e non appartanenti al dominio stesso
  • come si cerca:
    • limx → x0- f(x) = { finito → l'asintoto Non Esiste / infinito → Esiste → x = x0 }

asintoto orizzontale y = n

  • dove si cerca:
    • ±∞ se il dominio lo consente
  • come si cerca:
    • limx→±∞ f(x) = { finito → l'asintoto Non Esiste / infinito → Esiste → y = n }

asintoto obliquo y = mx + q

  • dove si cerca:
    • ±∞ se il dominio lo consente e se non esiste già l'asintoto orizzontale
  • come si cerca:
    • m = limx→±∞ f(x) / x = { 0 → l'asintoto Non Esiste / finito → l'asintoto Non Esiste / ±∞ → si cerca q }
    • q = limx→±∞ [f(x) - mx] = { finito → l'asintoto Non Esiste / infinito → Esiste → y = mx + q }

Limiti notevoli

funzioni goniometriche

  • limx→0 sin x / x = 1
  • limx→0 tg x / x = 1
  • limx→0 (1-cos x) / x = 0
  • limx→0 arscen x / x = 1
  • limx→0 (1-cos x) / x2 = 1/2
  • limx→0 arctg x / x = 1
  • limx→0 (arc cos x)2 / (1-x) = 2
  • limx→0 sin mx / sin nx = m/n

funzioni esponenziali e logaritmiche

  • limx→0 (1 + 1/x)x = e
  • limx→0 (1 + x)1/x = e
  • limx→0 loga (1 + x) / x = loge a
  • limx→0 ln (1 + x) / x = 1
  • limx→0 ax - 1 / x = ln a
  • limx→0 ex - 1 / x = 1
  • limx→0 (1 + x)k = k
  • limx→0 xn / ax = 0 (a > 1)
  • limx→+∞ an / n! =
    1. 1 se a < 1
    2. 1/2 se a = 1
    3. 0 se a > 1

Asintoti di una funzione

asintoto verticale x = x0

  • dove si cerca:
    • nei punti x0 di discontinuità della funzione
    • nei punti agli estremi del dominio di f(x) se sono finiti e non appartengono al dominio stesso
  • come si cerca:
    • limx→x0- f(x) = ±∞ finito → l'asintoto Non Esiste
    • ∃ → l'asintoto Esiste → x = x0

asintoto orizzontale y = n

  • dove si cerca:
    • x → ±∞ se il dominio lo consente
  • come si cerca:
    • limx→±∞ f(x) = ±∞ → l'asintoto Non Esiste
    • → Esiste → y = n → se l'asintoto orizzontale non esiste, si cerca l'asintoto obliquo

asintoto obliquo y = mx + q

  • dove si cerca:
    • x → ±∞ se il dominio lo consente e se non esiste già l'asintoto orizzontale
  • come si cerca:
    • m = limx→±∞ f(x) / x = ±∞ → l'asintoto Non Esiste
    • → finito → si cerca q
    • q = limx→±∞ [f(x) - mx] = ±∞ → l'asintoto Non Esiste
    • → finito → Esiste → y = mx + q

Derivate

derivate delle funzioni elementari

D k = 0 D senx = cosx dove k è una costante D xn = nxn-1 D cosx = – senx Dx xn = nxn-1 = n ┬ xn-1 = ┬nxn+1 D tgx = 1/cos2x = 1 + tg2x D √x = 1/2√x D cotgx = – 1/sen2x = –1 – cotg2x D √x = 1/2√x D arcsenx = 1/√1 – x2 D loga x = 1/x loga e = 1/ln a D arccosx = – 1/√1 – x2 D ln x = 1/x D arctgx = 1/1 + x2 D ax = ax ln a = ax/loga e D arccotgx = – 1/1 + x2 D ex = ex D |x| = x/|x| ┬ x

Integrali:

immediati immediati generalizzati ∫xn dx = xn+1/n + 1 + c f(x)n · f'(x)dx = [f(x)]n+1/n+1 + c       n ≠ -1 n ≠ -1 ∫1/x dx = ln|x| + c ∫f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + c ∫ax dx = ax/loga e + c ∫af(x) · f'(x)dx = a(x)/loga e + c ∫ex dx = ex + c ∫ef(x) · f'(x)dx = e(x) + c ∫senx dx = –cosx + c ∫sen f(x) · f'(x)dx = –cos f(x) + c ∫cosx dx = senx + c ∫cos f(x) · f'(x)dx = sen f(x) + c ∫1/cos2 x dx = tgx + c ∫1/cos2f(x) · f'(x)dx = tg f(x) + c ∫1/sen2 x dx = –cotgx + c ∫1/sen2 f(x) · f'(x)dx = –cotg f(x) + c ∫1/√1 – x2 dx = arc senx + c ∫1/√1 – f2(x) · f'(x)dx = arc sen f(x) + c ∫1/√x2 – 1 dx = arc sen x + c ∫1/√x2 − 1 · · f'(x)dx = arc sen(f(x)/|x|) + c ∫1/(1 + x2) dx = arctgx + c ∫1/(1 + f2(x)) · f'(x)dx = arc

in generale

∫f[g(x)] · g'(x)dx = F[g(x)] + c

regole di integrazione prodotto di una costante per una funzione ∫k · f(x) dx = k ∫ f(x) dx somma di due o più funzioni ∫(f(x) ± g(x) ± h(x)) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ± ∫ h(x)dx integrazione per parti ∫f(x) ·g(x) dx = f(x)∫g(x) dx – ∫f'(x)· g(x) dx

Formule goniometriche

sen(α ± β) = senα · cosβ ± cosα · senβtg(α ± β) = tgα ± tgβ/1 ∓ tgα · tgβcos(α ± β) = cosα · cosβ ∓ senα · senβctg(α ± β) = ctgα · ctgβ ∓ 1/ctgβ ± ctgαsen2α = 2senα · cosαtg2α = 2tgα/1 – tg²αcos2α = cos²α – sen²αctg2α = ctg²α – 1/2ctgαcos2α = 1 – 2sen²αcos2α = 2cos²α – 1sen3α = 3senα – 4sen³αtg3α = 3tgα – tg³α/1 – 3tg²αcos3α = 4cos³α – 3cosαctg3α = ctg³α – 3ctgα/3ctg²α – 1senα/2 = ±√(1 – cosα)/2tgα/2 = ± √(1 – cosα)/√(1 + cosα)senα/1 + cosα1 – cosα/senαcosα/2 = ±√(1 + cosα)/2ctgα/2 = ± √(1 + cosα)/√(1 – cosα)senα/1 – cosα1 + cosα/senα

Logaritmi

loga b + loga c = loga (a · c)teorema del prodottologa b – loga c = loga (b/c)teorema del rapportoc logb a = logb acteorema della potenzalogb am = m/n logb apotenza ad esponente frazionariolog1/b a = –logb ainvertire la baseloga 1/b = –loga binvertire l’argomentolog1/b 1/a = logb ainvertire la base con l’argomentologa b/logc b = loga cscambiare di base ed argomentologa b = logn b/logn acambio di basen = logb bn oppure n = blogb ntrasformare un numero n in logaritmo o in potenzalogb b = 1b0 = 1bx > 0casi particolari

Geometria analitica - la retta

ricerca dell'equazione di una retta

mAB = y₂ - y₁/x₂ - x₁

y - y₀ = m (x - x₀)

Limiti di funzioni elementari:

potenza con esponente pari

  • limx→+∞ xⁿ = +∞
  • limx→0⁺ xⁿ = 0⁺
  • limx→−∞ xⁿ = +∞
  • limx→0⁻ xⁿ = 0⁺

potenza con esponente dispari

  • limx→+∞ xⁿ = +∞
  • limx→0⁺ xⁿ = 0
  • limx→−∞ xⁿ = -∞
  • limx→0⁻ xⁿ = 0

logaritmo con base λ > 1

  • limx→0⁺ logλ(x) = -∞
  • limx→+∞ logλ(x) = +∞

logaritmo con base 0 < λ < 1

  • limx→0⁺ logλ(x) = +∞
  • limx→+∞ logλ(x) = -∞

radice con indice pari

  • limx→0⁺ √n = 0⁺
  • limx→+∞ √n = +∞

radice con indice dispari

  • limx→−∞ √n = -∞
  • limx→0 √n = 0
  • limx→+∞ √n = +∞

esponenziale con base λ > 1

  • limx→0 λᵡ = 1
  • limx→+∞ λᵡ = +∞
  • limx→−∞ λᵡ = 0⁺

esponenziale con base 0 < λ < 1

  • limx→0 λᵡ = 1
  • limx→+∞ λᵡ = 0⁺
  • limx→−∞ λᵡ = +∞

arcotangente

  • limx→0 arctan(x) = 0

arcosenante

  • limx→0 arcos(x) = π/2

arcocrotangente

  • limx→0 arccot(x) = π/2

seno

  • limx→0 sin(x) = 0
  • limx→+∞ sin(x) = non esiste

coseno

  • limx→0 cos(x) = 1
  • limx→+∞ cos(x) = non esiste

tangente

  • limx→(π/2)⁻ tan(x) = +∞
  • limx→(π/2)⁺ tan(x) = -∞

cotangente

  • limx→0⁺ cot(x) = +∞
  • limx→0⁻ cot(x) = -∞
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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher snastasia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica applicata e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Ferrara o del prof Pareschi Lorenzo.
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