Formulario Curve e superfici per il design

POLITECNICO DI MILANO — DESIGN DEL PRODOTTO INDUSTRIALE

Formulario

Geometria

Computazionale

Formule essenziali e metodi di risoluzione per ogni tipo di esercizio

Vettori geometrici ed algebrici

MODULO 1 Modulo · Versore · Prodotto scalare · Prodotto vettoriale · Prodotto misto

Rette e piani nello spazio

MODULO 2 Forma parametrica · Cartesiana · Normale · Distanze

Trasformazioni geometriche

MODULO 3 Rotazione · Traslazione · Scaling · Riflessione · Composizione · Proiezioni

Curve e superfici parametriche

MODULO 4 Tangente · Curvatura · Lunghezza d'arco · Normale alla superficie

Bézier, B-spline e NURBS

MODULO 5 Bernstein · De Casteljau · Tangenti · Vettore nodi · Pesi

Formulario Geometria Computazionale — Polimi | pag. 1

MODULO

1

Vettori geometrici ed algebrici

Tutto ciò che serve per gli esercizi di vettori, prodotti e perpendicolarità

Operazioni fondamentali u + v = (u +v , u +v , u +v )

Somma 1 1 2 2 3 3

k·v = (k·v , k·v , k·v )

Prodotto per scalare 1 2 3

Calcola a·u e b·v separatamente, poi somma componente per componente

Combinazione a·u + b·v

Modulo e versore 12 22 32

|v| = sqrt(v + v + v )

Modulo

Versore →

v■ = v / |v| sempre di modulo 1

(normalizzazione) 2 2 2

−P −P −P

d(P,Q) = sqrt((Q ) + (Q ) + (Q ) )

Distanza tra punti P, Q 1 1 2 2 3 3

Prodotto scalare u · v = u v + u v + u v

Definizione 1 1 2 2 3 3

u · v = |u| · |v| · cos(θ)

Formula geometrica cos(θ) = (u · v) / (|u| · |v|)

Angolo tra vettori ⊥ ⇔

u v u · v = 0

Perpendicolarità

Metodo: trovare k tale che due vettori siano perpendicolari

1. Scrivi il prodotto scalare u · v come espressione in k

2. Imponi l'equazione u · v = 0

3. Risolvi per k → →

4. Esempio: u=(k,2,-1), v=(1,k,3) u·v = k+2k−3 = 3k−3 = 0 k=1

Prodotto vettoriale (solo in R³) −u −u −u

u × v = (u v v , u v v , u v v )

Definizione 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

|u × v| = |u| · |v| · sin(θ)

Modulo (area parallel.) ⊥ −(v

u × v è a entrambi u e v; u × v = × u) (anti-commutativo)

Proprietà chiave −(v×u).

Attenzione: Il prodotto vettoriale NON è commutativo: u×v = Verifica sempre il segno ricontrollando con u·(u×v)

= 0.

Prodotto misto [u, v, w] = u · (v × w) (scalare)

Definizione |[u,v,w]| = volume del parallelepipedo generato da u, v, w

Significato geometrico ⇔

[u,v,w] = 0 i tre vettori sono complanari

Test di complanarità Formulario Geometria Computazionale — Polimi | pag. 2

MODULO

2

Rette e piani nello spazio

Forme parametriche e cartesiane, normali, distanze e posizioni reciproche

Retta nello spazio

Forma r(t) = P + t·d = (x +td , y +td , z +td )

0 0 1 0 2 0 3

parametrico-vettoriale

Forma cartesiana (x−x )/d = (y−y )/d = (z−z )/d

0 1 0 2 0 3

(simmetrica) −

d = B A; r(t) = A + t·(B−A)

Retta per due punti A, B

Metodo: verificare se un punto C appartiene a una retta r(t) = P■ + t·d

1. Risolvi il sistema C = P + t·d componente per componente

0

2. Ottieni tre equazioni in t (una per coordinata)

→ →

3. Se tutte danno lo stesso valore di t C appartiene. Se t differisce NON appartiene.

→ ∈

4. Esempio: C=(5,1,0), r(t)=(1,−1,2)+t(2,1,−1). t deve valere 2 per tutte e tre C r.

Piano nello spazio ax + by + cz + d = 0 con n = (a,b,c)