Eserciziario Calcolo numerico

Esercizi da Esame

Indice

Indice 1

1 Algoritmo, precisione finita, norme 2

1.1 Numeri di macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Standard IEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Precisione di macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Operazioni con i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

floating

1.5 Norma 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Norma 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Norma infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Sistemi lineari: metodo di Gauss 5

2.1 Matrice di Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

−1

A

2.3 Numero di condizionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Fattorizzazione LU di A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 det(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Interpolazione 8

3.1 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Formule di quadratura 10

5 Migliore approssimazione ai minimi quadrati 11

5.1 Retta di migliore approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Parabola di migliore approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Metodi iterativi per equazioni non lineari 12

6.1 Metodo di Bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.2 Metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3 Algoritmo basato sul metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

Calcolo numerico - Ingegneria meccanica A.S. 2022/2023

1 Algoritmo, precisione finita, norme

Un è un insieme di istruzioni non ambigue che a partire da dei dati calcola

algoritmo

una soluzione al problema in un tempo finito.

Si consideri un elaboratore operante con rappresentazione in base ed aritmetica

β floating-

Siamo le cifre a disposizione della mantissa e quelle per la caratteristica escluso

m n

point.

il segno.

1.1 Numeri di macchina

L’insieme (β, ) è l’insieme di numeri reali aventi

m, L, U

F

dei numeri di macchina

mantissa e caratteristica rappresentabili negli spazi disponibili, ovvero nu-

esattamente

meri aventi al più cifre per la mantissa in base = 2.

m β

La deve soddisfare:

b

caratteristica (β 1) (β 1)

n n

≤ ≤ − − ≤ ≤ −

L b U b

Se l’elaboratore effettua la rappresentazione di per

x

floating-point troncamento:

= 0.a = 0

b ̸

f l(x) a ... a β a

m

1 2 1

mentre per arrotondamento:



0.a se β

b

a ... a β a <

 m m+1

1 2 2

0.a se β

b ≥

a ... a β a

m+1 m+1

1 2

 2

1.2 Standard IEEE

e sono i valori limite che può assumere la caratteristica b:

Realmin Realmax ≤ ≤

Realmin b Realmax

Se si verifica un se si verifica un e il

b < Realmin b > Realmax

underflow, overflow

numero non viene rappresentato in macchina. Messaggi di errore in = 0 e

x

Matlab: inf.

L’espilon è il più piccolo numero positivo diverso da zero che sommato

eps

di macchina

a 1 dà un risultato diverso da 1.

eps

Algoritmo

1. = 1

eps

2. Fintanto che 1 + = 1

̸

eps

3. =

eps eps/β

4. = ∗

eps eps β

standard di precisione bit segno

m n Realmin Realmax eps

semplice 23 8 1 1.17 10 3.40 10 1.19 10

−38 −7

38

doppia 52 11 1 2.22 10 1.79 10 2.22 10

−308 −16

308

2

Calcolo numerico - Ingegneria meccanica A.S. 2022/2023

1.3 Precisione di macchina

La è la limitazione superiore all’errore relativo commesso nel

precisione di macchina

rappresentare in macchina un numero reale = 0.

̸

x

||x − f l(x)|| < ε

m

||x||

 se opera per troncamento

1−m

β

 se opera per arrotondamento

1 1−m

β

 2

Algoritmo

Riprendo l’algoritmo di e aggiungo una riga:

eps

5. Se si opera per troncamento = altrimenti = eps

ε eps, ε

m m 2

Traduione Matlab

1. function[eps] = epsilon(beta)

2. eps = 1;

3. while eps + 1 ~= 1

4. eps = eps/beta;

5. end

6. eps = eps*beta;

7. end floating

1.4 Operazioni con i

= ø 6

3

⊖

s f l(x) f l(x)

Eseguo le operazioni separatamente: = = 0.272727... = 0.273 10

3 0

x 11

= 0.273 10 0.273 10 0.273 10 = 0.745 10 0.273 10 = 0.203 10

−1 −1

3 0 0 0 0

⊗ ⊗ &oti