Calcolo numerico: teoria, formulario e guida agli esercizi

Calcolo Numerico: Teoria, Formulario e Guida

alla Risoluzione degli Esercizi

5 settembre 2026

1

Indice

1 Introduzione 7

1.1 Zeri di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Metodi Iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Definizione e Meccanismo . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Condizioni generali di Convergenza . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Test d’arresto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Metodo di Newton-Raphson 13

2.1 Principio di funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Derivazione della formula iterativa . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Applicazione Pratica: Calcolo delle Radici . . . . . . . . . . . 14

2.4 Ordine e Fattore di Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Dimostrazione dell’Ordine di Convergenza di Newton . . . . . 16

′

2.6 Il Caso Problematico: Radice Multipla (f (ξ) = 0) . . . . . . . 17

3 Metodo di Newton-Raphson Modificato 19

3.1 Relazione tra Errore e Scarto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Condizioni per la Convergenza Locale . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Il Teorema di Convergenza e la Condizione Pessimistica 21

4 Varianti del Metodo di Newton-Raphson 23

4.1 Metodo della Secante Variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Metodo a Tangente Fissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Efficienza Computazionale dei Metodi . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Scheda Riassuntiva 28

6 Metodo di Iterazione di Punto Fisso 32

6.1 Esistenza e Unicità della Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.2 Metodo Iterativo di Punto Fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.2.1 Teorema di Convergenza e Dimostrazione . . . . . . . . 35

6.2.2 Cosa succede se le ipotesi non sono verificate? . . . . . 36

6.3 Ordine e Fattore di Convergenza del Punto Fisso . . . . . . . 36

6.4 Relazione tra Errore e Scarto nel Punto Fisso . . . . . . . . . 38

7 Tecniche di Accelerazione: Il Metodo di Aitken 39

7.1 L’Idea di Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2 Metodo di Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.3 Dimostrazione dell’Ordine di Convergenza di Aitken . . . . . . 40

2

8 Altri Metodi: Steffensen e Bisezione 42

8.1 Metodo di Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.2 Metodo di Bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.3 Ibridazione e Test d’Arresto Pesato . . . . . . . . . . . . . . . 44

9 Scheda Riassuntiva 47

10 Profilo di Convergenza 51

11 Relazione tra il Metodo di Newton e Punto Fisso 53

11.1 Verifica della Convergenza e dell’Ordine . . . . . . . . . . . . . 53

11.2 Uguaglianza della Costante Asintotica M . . . . . . . . . . . . 54

12 Classificazione dei Metodi 55

13 Interpolazione Polinomiale 56

13.1 Esistenza, Unicità e il Problema di Vandermonde . . . . . . . 57

14 Il Polinomio Interpolatore di Lagrange 58

14.1 Verifica e Proprietà di Stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

14.2 Errore dell’Interpolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

14.3 Dimostrazione del Teorema dell’Errore . . . . . . . . . . . . . 60

15 Il Polinomio Interpolatore di Newton 63

15.1 Definizione di Differenza Divisa . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

15.2 Costruzione del Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

15.3 L’Errore e il Legame con Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

15.4 Cosa succede se i nodi coincidono? . . . . . . . . . . . . . . . 65

16 Il Fenomeno di Runge 67

16.1 Perché accade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

17 Funzioni Spline 69

18 L’Approssimazione ai Minimi Quadrati 71

18.1 Le Equazioni Normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

18.2 La Retta di Regressione (n = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

18.3 Scarti Verticali vs Scarti Orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . 72

18.4 Correlazione e Intuizione Geometrica . . . . . . . . . . . . . . 73

18.5 Modelli Non Lineari: La Linearizzazione . . . . . . . . . . . . 73

3

19 Derivazione Numerica 75

19.1 Approssimazioni del Primo Ordine . . . . . . . . . . . . . . . 75

19.2 Formule Centrali (Secondo Ordine) . . . . . . . . . . . . . . . 76

20 Scheda riassuntiva 78

21 Quadratura Numerica 81

21.1 Formula dei Trapezi (n = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

21.2 Formula di Cavalieri-Simpson (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . 82

22 Analisi dell’Errore di Integrazione 83

22.1 Errore della Formula dei Trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

22.2 La convergenza di Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

23 Formule di Quadratura Composte 85

23.1 Formula dei Trapezi Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

23.2 Formula di Cavalieri-Simpson Composta . . . . . . . . . . . . 85

24 Estrapolazione di Richardson 87

24.1 Concetto Generale e Derivazione Analitica . . . . . . . . . . . 87

24.2 Applicazione alla Formula di Cavalieri-Simpson . . . . . . . . 88

25 Integrazione di Gauss 90

25.1 Il Ruolo dei Polinomi Ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . 90

25.2 Il Metodo dei Coefficienti Indeterminati (Caso Notevole: Gauss-

Legendre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

25.3 Verifica dell’Ordine di Accuratezza . . . . . . . . . . . . . . . 92

25.4 Il Vantaggio Teorico Assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

26 Formula del Punto Medio 94

26.1 Analisi dell’Errore del Punto Medio . . . . . . . . . . . . . . . 94

27 Scheda Riassuntiva 96

28 Richiami di Algebra Lineare 100

28.1 Strutture Matriciali Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

28.2 Autovalori, Autovettori e Invarianti Spettrali . . . . . . . . . . 100

28.3 Diagonalizzabilità e Matrici Simili . . . . . . . . . . . . . . . . 101

28.4 Matrici Simmetriche Definite Positive (SPD) . . . . . . . . . . 101

4

29 Esercizi Applicativi: Analisi Spettrale e Strutturale 103

29.1 I Teoremi di Gershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

29.2 Esercizio 1: Norme e Dominanza Diagonale . . . . . . . . . . . 104

29.3 Esercizio 2: Teoremi di Gershgorin e Invarianza della Traccia . 105

30 Sistemi Lineari: Metodi Diretti 108

30.1 L’Invertibilità del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

30.2 Residuo, Errore e Condizionamento . . . . . . . . . . . . . . . 108

31 Metodi Risolutivi Diretti 110

31.1 Sistemi Triangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

31.2 L’Eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

31.3 Il Pivoting Parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

32 Fattorizzazione LU 113

32.1 L’Immensa Efficienza del Metodo LU . . . . . . . . . . . . . . 113

33 Ottimizzazione dei Metodi Diretti: Varianti e Casi Struttu-

rati 115

33.1 Le Formule Compatte di Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

34 Sistemi Simmetrici Definiti Positivi: La Fattorizzazione di

Cholesky 116

34.1 Vantaggi e Calcolo del Fattore M . . . . . . . . . . . . . . . . 116

34.2 Risoluzione, Determinante e Trasformazione . . . . . . . . . . 117

35 Sistemi Tridiagonali: L’Algoritmo di Thomas 118

36 Analisi dell’Errore: Il Numero di Condizionamento 119

36.1 Proprietà e Significato Pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

36.1.1 La Regola delle Cifre Significative . . . . . . . . . . . . 120

37 Sistemi Lineari: Metodi Iterativi 121

37.1 Struttura Algoritmica e lo Splitting delle Matrici . . . . . . . 121

38 Metodi Stazionari Classici 123

38.1 Il Metodo di Jacobi (Iterazione Simultanea) . . . . . . . . . . 123

38.2 Il Metodo di Gauss-Seidel (Iterazione Successiva) . . . . . . . 123

38.3 Il Metodo di Richardson e i Criteri di Arresto . . . . . . . . . 124

5

39 Condizioni e Velocità di Convergenza 125

39.1 Il Criterio Generale di Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . 125

39.2 Velocità di Convergenza e Stima delle Iterazioni . . . . . . . . 126

40 Analisi Avanzata dei Metodi Iterativi 126

41 Il Metodo SOR 128

41.1 Teoremi Generali di Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . 128

42 Il Teorema di Young-Varga 130

42.1 Legame diretto tra Jacobi e Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . 130

42.2 Calcolo Analitico dell’ω Ottimale . . . . . . . . . . . . . . . . 130

42.3 Comportamento Sub-Ottimale (ω > ω ) . . . . . . . . . . . . 130

opt

43 Esempi Numerici Applicativi 132

44 Scheda Riassuntiva 134

45 Guida per la risoluzione degli esercizi 137

45.1 Fattorizzazione LU e Pivoting Parziale . . . . . . . . . . . . . 137

45.2 Fattorizzazione di Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

45.3 Relazione tra Autovalori, Determinante e Traccia . . . . . . . 138

45.4 Metodi Iterativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

45.5 Convergenza, Errore e Costante Asintotica . . . . . . . . . . . 140

45.6 Jacobi, Gauss-Seidel e SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

45.7 Metodo SOR e Teorema di Young-Varga . . . . . . . . . . . . 143

6

1 Introduzione

1.1 Zeri di funzione

→

f (x) = 0 Le soluzioni di una funzione si chiamano ZERI della funzione

Come si verifica l’esistenza degli zeri?

→

Si usa il teorema di Bolzano condizione sufficiente

Enunciato: ∈ · ∃

Se f è continua in un intervallo [a, b] e se f (a) f (b) < 0 allora c

R

t.c. f (c) = 0

Ricordiamo che non ha senso cercare gli zeri di una funzione se prima non

se ne verifica l’esistenza. Ci interessa, inoltre, che la soluzione esista e sia

unica.

Dobbiamo quindi verificare l’unicità della soluzione: se la funzione è mono-

tona e soddisfa il Teorema di Bolzano, allora lo zero non solo esiste, ma è

anche unico.

Verificare la monotonia di una funzione nella pratica serve a garantire l’u-

nicità dello zero individuato tramite il Teorema di Bolzano. Se una funzione

si muove in un’unica direzione nell’intervallo [a, b], intersecherà l’asse x al

massimo una volta.

Nella pratica si possono seguire due strade principali:

1. Studio della derivata prima È il metodo più sicuro e sistematico. Si

′

calcola la derivata prima f (x) e se ne studia il segno all’interno dell’intervallo

[a, b] di interesse:

ˆ ′ ∈

Se f (x) > 0 per ogni x [a, b], la funzione è strettamente crescente.

ˆ ′ ∈

Se f (x) < 0 per ogni x [a, b], la funzione è strettamente decrescente.

3 −

Esempio pratico: Consideriamo f (x) = x + 4x 2 nell’intervallo [0, 1]. La

′ ′

2 2 ≥

sua derivata è f (x) = 3x + 4. Poiché 3x 0 e 4 > 0, si ha che f (x) > 0

per ogni x. La funzione è strettamente crescente, dunque lo zero è unico. 2.

Ispezione e composizione di funzioni elementari In molti casi calcolare

la derivata non è strettamente necessario se la funzione è composta da blocchi

elementari di cui si conosce già l’andamento:

ˆ x

Funzioni che mantengono la monotonia: Le funzioni e , ln(x) e

√ x sono strettamente crescenti nel loro dominio. La somma di funzioni

crescenti è ancora una funzione crescente.

7

ˆ 1

Funzioni che invertono la monotonia: La trasformazione in-

f (x)

verte la monotonia della funzione (se f (x) cresce, il suo reciproco decre-

sce, a patto che il segno rimanga costante nell’intervallo). Allo stesso

−f

modo, il cambio di segno (x) inverte la monotonia.

x x

Esempio pratico: Data la funzione f (x) = e + x, sapendo che sia e sia la

retta x sono funzioni strettamente crescenti su tutto il dominio, la loro somma

sarà strettamente crescente, senza il bisogno di calcolare alcuna derivata.

8

1.2 Metodi Iterativi

Nell’ambito della matematica computazionale e dell’analisi numerica, il me-

todo iterativo rappresenta un approccio procedurale fondamentale, il cui sco-

po è calcolare un’approssimazione sufficientemente accurata per la soluzione

di un dato problema. Poiché in molteplici casi pratici non è possibile de-

terminare la soluzione esatta per via puramente analitica, si ricorre a questi

metodi per ottenere un risultato numerico che si avvicini entro una tolleranza

prestabilita al valore reale.

1.2.1 Definizione e Meccanismo

Dal punto di vista formale, l’applicazione di un metodo iterativo si traduce

nella generazione di una successione matematica. La caratteristica portante

di questo algoritmo è la sua natura ricorsiva: ogni nuovo elemento della suc-

cessione, ovvero il termine (k +1)-esimo, viene definito e calcolato in funzione

del termine immediatamente precedente (il termine k-esimo). In alcune va-

rianti algoritmiche, il calcolo può dipendere anche da termini ulteriormente

−

antecedenti, come il (k 1)-esimo.

1.2.2 Condizioni generali di Convergenza

ˆ Convergenza della successione: La successione dei valori appros-

{x },

simati generata dal metodo iterativo, indicata con deve essere

k

convergente.

ˆ Unicità della soluzione: Il valore ξ verso cui il metodo tende deve

rappresentare la soluzione unica del problema all’interno dello specifico

intervallo di studio considerato.

ˆ Coincidenza del limite: Il limite della successione delle soluzioni ap-

prossimate x , al tendere del numero di iterazioni all’infinito, deve coin-

k

cidere esattamente con la soluzione reale del problema. In notazione

formale: lim x = ξ

k

k→∞

ˆ Misurazione dell’errore:Ad ogni singola iterazione k, è essenziale po-

ter quantificare l’accuratezza del metodo calcolando l’errore commesso

ε . Tale errore è definito matematicamente come la differenza tra la

k 9

soluzione vera (ξ) e la soluzione approssimata (x ) ottenuta al passo

k

corrente: −

ε = ξ x

k k

1.2.3 Test d’arresto

Il Problema: Quando fermarsi?

L’applicazione di un metodo iterativo genera teoricamente una successione

infinita di valori. Tuttavia, all’atto pratico (e computazionale), l’algoritmo

deve necessariamente interrompersi dopo un numero finito di passi k. Sor-

ge quindi il problema di stabilire un opportuno Test di Arresto: dobbiamo

decidere quale margine di errore siamo disposti ad accettare, fissando una

soglia massima tollerabile che chiameremo Tolleranza (T ol). Un’avvertenza

−9 −10

importante: la tolleranza (ad esempio 10 o 10 ) non deve mai essere scel-

ta troppo vicina alla precisione di macchina, per evitare che l’algoritmo non

termini mai a causa degli errori di arrotondamento introdotti dal calcolatore.

Esistono principalmente tre criteri per i test di arresto:

1. Controllo sull’Errore Assoluto

La condizione ideale sarebbe arrestare il metodo quando l’errore effet-

|E |

tivo scende sotto la tolleranza: < T ol Il problema di questo ap-

k −

proccio è evidente: per calcolare l’errore E = ξ x avremmo bisogno

k k

di conoscere la soluzione esatta ξ, che è proprio l’incognita del nostro

problema! Pertanto, questo test è puramente teorico e inapplicabile

nella pratica.

2. Controllo sullo Scarto (Incremento)

Poiché la successione è convergente, sappiamo che la distanza tra due

|x −x |

iterazioni successive tenderà a zero: lim = 0. Possiamo

k→+∞ k+1 k

|x − |

quindi imporre come test di arresto: x < T ol La quantità

k+1 k

|x − |

x prende il nome di scarto. A differenza dell’errore, lo scarto

k+1 k

è un valore perfettamente calcolabile a ogni iterazione. Tuttavia, è

̸

fondamentale ricordare che scarto = errore: uno scarto piccolo non

garantisce matematicamente un errore altrettanto piccolo, anche se per

successioni convergenti esisterà sicuramente un’iterazione k per cui la

disequazione è verificata.

3. Controllo sul Residuo

Dato che il nostro obiettivo è trovare la radice di un’equazione del tipo

f (x) = 0, possiamo valutare quanto il valore della funzione calcolato

|f |f

in x si avvicini allo zero: (x )| < T ol La quantità valutata (x )|

k k k

10

si chiama residuo. Questo criterio è valido e rigoroso a patto che la

funzione f sia continua. Infatti, per il teorema del limite delle funzioni

continue, se lim x = ξ, allora lim f (x ) = f (lim x ) = f (ξ) = 0.

k k k

4. Interpretazione Geometrica

Il rapporto tra Errore e Residuo è ben visibile graficamente.

In condizioni ”normali”, l’errore (la distanza orizzontale tra x e ξ)

k

e il residuo (la distanza verticale tra l’asse x e il punto sulla curva)

diminuiscono di pari passo.

Se tuttavia ci troviamo di fronte a una funzione ”piatta” (cioè con de-

rivata vicina a zero nell’intorno della radice), il test sul residuo può

rivelarsi ingannevole. Come mostra il grafico, la curva si schiaccia sul-

l’asse delle ascisse: in questo scenario potremmo registrare un residuo

molto piccolo, tale da superare il test di arresto, commettendo però un

errore molto grande.

y f (x) |f

RESIDUO (x )|

k

x

x

ξ k

|E |

ERRORE k

Figura 1: Funzione con pendenza standard: errore e residuo diminuiscono di

pari passo. 11

y funzione “piatta”

residuo molto piccolo

x

x

ξ k

errore

molto grande

Figura 2: Funzione “piatta”: un residuo piccolo non garantisce un errore

piccolo. 12

2 Metodo di Newton-Raphson

Il metodo di Newton-Raphson è un potente algoritmo iterativo utilizzato per

trovare le radici di una funzione f (x), ovvero per risolvere equazioni nella

forma f (x) = 0. A differenza dei metodi a intervallo (come la bisezione),

questo è un metodo di tipo puntuale, poiché richiede la conoscenza della

derivata della funzione e parte da un singolo punto di innesco.

2.1 Principio di funzionamento

Supponiamo che la funzione f (x) sia derivabile. L’idea alla base del metodo

{x }

è costruire una successione di valori che converga alla radice ξ partendo

k

da un punto iniziale arb