Appunti di Fisica 1 sul corpo rigido

CORPI RIGIDI

giovedi 7 maggio 2026 16:43

DEFINIZIONE di CORPO RIGIDO

CORPO RIGIDO = sistema di PARTI le cui distanze le une dalle altre sono FISSE

oppure

un corpo esteso con FORMA e DIMENS perfettam DEFINITE e IMMODIFICABILI

PROPRIETA' CORPO RIGIDO

1) se 2 corpi i e j sono in quieta, la retta che unisce i i j e L' ASSE FISSO del CORPO RIGIDO

2) x ha un asse fisso z, in un moto la dist da z di tutti i punti e costante e hanno una coord z cost

3) punti del corpo che si muove attorno a un asse fisso

attorno a un asse fisso

DESCRIVONO ARCHI di CIRCONFERENZE disposte in PIANI l all'asse z

DENSITA CORPO RIGIDO

Se la densita e cost, il corpo e OMOGENEO

r = m/v

DENS superficiale -> sigma = dm/ds

DENS lineare -> lambda = dm/dl

CM di UN CORPO RIGIDO

r_CM = ∫ r dm/m = ∫ r p dv/m

posiz del CM di un corpo rig

DEPENDE dalla sua forma

CM coincide con asse di SIMM

o e al piano di simmetria

MOTO di TRASLAZIONE

Ci si riconduce al moto del CM

p = mV_cm    E_k = 1/2 mV²_cm

equaz alla base del moto

R = ma^*_cm

L = r_cm x p

MOTO di ROTAZ alorno a un ASSE

tutti i punti moto con la STESSA VEL ANG w, le velocità v_i dei sing punti sono ≠ a seconda della dist R_i dall' asse : v_i = ω R_i

M_o = dL_o/dt

CALCOLO MOMENTO ANGOLARE

L_i = r_i x m_iv_i

• al piano dei vettori ri, vi

• forma angolo = π/2 - ?i con asse z

• Li = mi ri Ri w

MOMENTO ANGOLARE ASSIALE

Li,z = mi Ri² w, è la proiez

del mom ang sull' asse di rotaz

MOMENTO di INERZIA

Iz = ∑i (mi Ri²)

→ Lz = ∑i (mi Ri²w) = Iz w

se l' asse di rotaz coincide

con un asse di simm del corpo

• L⊥ = 0

• L = L∥ → L = Lz = Iz w

EQUAZ del MOTO di ROTAZIONE

se L∥ w → M = Iz α

→ α, M // asse di rotaz

se M=0 -> Moto circ unif acc

alpha=cost w=w₀+at g(t)=g₀+w₀t+1/2 at²

E_k e LAVORO

E_k = T del corpo rigido

T = E_k = 1/2 I_z w²

se il mom ang e il a w? risulta E_k = L²/2I_z

Se un corpo con w in molla fino a w_fin, la E_k varia e si compie un W = Delta E_k = 1/2 I_zw²_fin - 1/2 I_zw²_in

MOTO di PURO ROTOLAMENTO

CORPO su un PIANO si muove senza SLISCIARE

se il PUNTO DI CONTATTO ha

nel punto di contatto ma velocità nulla rispetto al piano si ha un moto di puro rotolamento

in ogni dt e come se il corpo ruotasse attorno a un asse fisso passante per il punto di contatto C con vel ang. w; in seguito anche in un C' infinitamente vicino a C e si ripete all'infinito

per tenere fermo il punto C agisce una F attrito statico tra piano e corpo

la vel di ogni punto del corpo è la somma della velocità del punto con C ed è v = w x PC

vel di C distante r dal CM

v_c = v_cm + w x r

se v_c = 0 e puro rotolam

v_cm = -w x r => { v_cm = wr

a_cm = alpha r

v_CM = -w x r -> {

a_CM = ar

La successione di rotaz infinit attorno a un punto di contatto istantaneo equivale ad una ROTO-TRASLAZ in cui il CM avanza con v_CM e il corpo ruota con vel ang = w rispetto al CM

- TRASLAZ -> { F - fa = ma_CMN - mg = 0

- ROTAZIONE

- fa R = I a

F = (m + I/R.sup.2) a_CM

fa = F / (R.sup.2 / I m + 1)

Per il ROTOLAM occorre che

fa ≤ m_sN

Riass Fisica Pagina 7

← F ≤ m _s mg (R² / I + 1) = F_fim

ATTRITO VOLVENTE

E' attribuito ad una deformaz locale del piano, che puo essere rappresentato con l'azione di un momento:

M_v = hmgy

← h = coeff attrito volvente

← per vincolo devo applicare una forza F₂ ≥ hmg/r

TEOREMA di HUYGENS-STEINER

"Il mom di inerzia di un corpo di massa m rispetto a un asse a dist "a" dal CM del corpo e dato da

I_z = I_c + ma²"

← quindi, venendo al teorema di kenig

E_k = 1/2 I_zω² = 1/2 I_cω² + 1/2 m a²ω²

PENDOLO COMPOSTO

E un corpo rigido in grado di oscillare col suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizz passante per il suo CM

τ = -mgh sinθ

I_z = I_cm + mh²

θ = θ sin (Ωt + φ)

Ω = √(mgh / I_z) -> PULSAZIONE

T = 2π / Ω

MOTO CORPO RIGIDO

L_i⊥ = L_i cos(θ_i) = m r_i R_i ω cosθ_i

descrive il moto intorno all'asse di rotaz dello MOTO DI PRECESSIONE

di rotaz delto

M₁ = dL₁/dt

MOTO della TROTTOla

L = I w

=> se il sua asse di rotaz e inclinato subisce moto di PRECESSIONE

=> agisce F gravitaz che ha momento -> t = r x mg

=> la direz di t sara quella della VARIAZ del MOM ANG

dO = t dt

=> VEL ANG di precessione: w_p = rmg/L

IMPULSO ANGOLARE

Per mettere in ROTAZ un corpo rigido risp a un asse fisso posso applicare un impulso

MOMENTO dell' IMPULSO:

r x J = De

e' IMPULSO provoca variaz di

Qt di moto ma anche VARIAZ

del MOM ANGOLARE