Appunti di Fisica 1

Corpo rigido e sue proprietà

Finalmente siamo pronti a parlare del corpo rigido. Il corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui le distanze tra i punti non cambiano, indipendentemente dalle forze applicate. È un modello ideale in cui si assume che il corpo sia indeformabile. Questo significa che anche sotto l’azione di forze esterne, le distanze tra i punti del corpo rigido rimangono costanti.

Definizione e proprietà del corpo rigido

Il corpo rigido può avere diverse simmetrie o estensioni. Può essere un corpo unidimensionale, come una barretta, oppure un corpo bidimensionale, come un disco, o ancora un corpo tridimensionale, come una sfera o un cubo. In ogni caso, i punti che lo compongono rimangono fissi l’uno rispetto all’altro, e le distanze tra loro non cambiano.

Formalmente, possiamo dire che in un corpo rigido, per ogni coppia di punti materiali A e B, la distanza d(A,B) è costante:

Questo significa che, anche sotto sollecitazioni, il corpo rigido non si deforma. Sebbene sia un’astrazione ideale, il modello del corpo rigido è molto utile per descrivere numerosi fenomeni fisici.

Posizione e densità del corpo rigido

Per descrivere la posizione di un corpo rigido nello spazio, consideriamo un sistema di assi cartesiani x, y e z. La massa del corpo rigido non è più puntiforme, ma è distribuita su un certo volume V. Possiamo quindi definire la densità di massa del corpo rigido come il limite del rapporto tra una piccola porzione di massa Δm e una porzione di volume ΔV, quando ΔV tende a zero:

Se il corpo rigido è omogeneo, la densità ρ è costante in ogni punto del corpo, altrimenti varia in funzione della posizione all’interno del corpo.

Centro di massa del corpo rigido

Il centro di massa di un corpo rigido è il punto in cui possiamo considerare concentrata tutta la sua massa. La posizione del centro di massa R_cm si ottiene sommando i contributi di ogni elemento infinitesimale di massa dm del corpo. In coordinate cartesiane, la posizione del centro di massa è data da:

Corpo rigido e sue proprietà

Finalmente siamo pronti a parlare del corpo rigido. Il corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui le distanze tra i punti non cambiano, indipendentemente dalle forze applicate. È un modello ideale in cui si assume che il corpo sia indeformabile. Questo significa che anche sotto l'azione di forze esterne, le distanze tra i punti del corpo rigido rimangono costanti.

Definizione e proprietà del corpo rigido

Il corpo rigido può avere diverse simmetrie o estensioni. Può essere un corpo unidimensionale, come una barretta, oppure un corpo bidimensionale, come un disco, o ancora un corpo tridimensionale, come una sfera o un cubo. In ogni caso, i punti che lo compongono rimangono fissi l'uno rispetto all'altro, e le distanze tra loro non cambiano.

Formalmente, possiamo dire che in un corpo rigido, per ogni coppia di punti materiali A e B, la distanza d(A,B) è costante:

d(A, B) = costante

Questo significa che, anche sotto sollecitazioni, il corpo rigido non si deforma. Sebbene sia un'astrazione ideale, il modello del corpo rigido è molto utile per descrivere numerosi fenomeni fisici.

Posizione e densità del corpo rigido

Per descrivere la posizione di un corpo rigido nello spazio, consideriamo un sistema di assi cartesiani x, y e z. La massa del corpo rigido non è più puntiforme, ma è distribuita su un certo volume VVV. Possiamo quindi definire la densità di massa del corpo rigido come il limite del rapporto tra una piccola porzione di massa Δm e una porzione di volume ΔV, quando ΔV tende a zero:

ρ = lim(ΔV → 0) (Δm / ΔV)

Se il corpo rigido è omogeneo, la densità ρ ρ è costante in ogni punto del corpo, altrimenti varia in funzione della posizione all'interno del corpo.

Centro di massa del corpo rigido

Il centro di massa di un corpo rigido è il punto in cui possiamo considerare concentrata tutta la sua massa. La posizione del centro di massa Rcm si ottiene sommando i contributi di ogni elemento infinitesimale di massa dm del corpo. In coordinate cartesiane, la posizione del centro di massa è data da:

Meccanica del corpo rigido

Proseguiamo il nostro studio della meccanica del corpo rigido. Riprendiamo alcuni concetti sul corpo rigido visti in precedenza e approfondiamo il movimento di un corpo rigido intorno ad un asse fisso.

Innanzitutto, il corpo rigido è un corpo dotato di una forma ben definita, e le distanze tra i punti che lo compongono rimangono invariabili nel tempo. Questi punti sono rigidamente collegati tra loro, e non possiamo trascurare la forma del corpo. Questo significa che, dal punto di vista dinamico, è importante anche la posizione in cui applichiamo le forze. Ad esempio, se applichiamo una forza esterna in corrispondenza del centro di massa, il corpo trasla lungo la direzione della forza con un'accelerazione pari alla forza stessa divisa per la massa complessiva del corpo (a = F/m).

Se la forza applicata non passa per il centro di massa, oltre alla traslazione, si avrà anche una rotazione del corpo rigido. Questo fenomeno è descritto dalla formula del momento torcente o momento della forza, che dipende dalla distanza tra il punto di applicazione della forza e l'asse di rotazione. Il momento torcente è dato dalla formula:

M = F · d

dove F è la forza applicata e d è la distanza, o braccio, dalla forza all'asse di rotazione.

Consideriamo ora il caso in cui il corpo sia vincolato a ruotare intorno ad un asse fisso. In questa situazione, la forza attiva che applicheremo potrà produrre un momento torcente e quindi indurre una rotazione del corpo intorno all'asse. Il momento angolare LLL, dato da:

L = I · ω

dove III è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse e ωωω è la velocità angolare, descrive la quantità di moto associata alla rotazione del corpo.

Il momento di inerzia III è una misura della resistenza di un corpo a variare il proprio stato di rotazione, ed è dato dalla somma dei contributi di ogni punto materiale del corpo alla sua rotazione. Si calcola con:

I = Σm_i · r_i²

dove mi è la massa di ciascun punto del corpo e ri è la distanza di ciascun punto dall'asse di rotazione.

Per un corpo continuo, il momento di inerzia si esprime con un integrale:

I = ∫ r² dm

dove M è la massa totale del corpo e r è la posizione del punto all'interno del corpo rispetto al sistema di riferimento scelto.

Movimenti del corpo rigido: traslazioni e rotazioni

Il corpo rigido può compiere sia traslazioni che rotazioni. Mentre nel caso di un punto materiale la rotazione non ha senso, per un corpo rigido dobbiamo considerare entrambi i tipi di movimento.

La traslazione si verifica quando tutti i punti del corpo si spostano di pari passo lungo una stessa direzione. La velocità di traslazione del corpo rigido è la velocità del suo centro di massa vcm.

La rotazione si verifica quando il corpo ruota attorno a un asse fisso o mobile. Ogni punto del corpo segue una traiettoria circolare intorno all'asse di rotazione. La velocità angolare ω descrive la velocità di rotazione del corpo:

dove r è il vettore che unisce un punto qualsiasi del corpo all'asse di rotazione.

Gradi di libertà del corpo rigido

Un corpo rigido nello spazio tridimensionale ha sei gradi di libertà: tre gradi di libertà per la traslazione, lungo gli assi x, y e z, e tre gradi di libertà per la rotazione attorno agli stessi assi.

Per definire completamente la posizione e l'orientamento di un corpo rigido, dobbiamo conoscere le sue tre coordinate spaziali xcm, ycm, zcm e i suoi tre angoli di rotazione intorno agli assi di riferimento, che possiamo chiamare α, β e γ.

Momento angolare del corpo rigido

Il momento angolare L di un corpo rigido è una grandezza vettoriale che descrive la sua tendenza a ruotare. Si calcola come il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r di un punto del corpo e la sua quantità di moto p.

L = _i x p_i = _i m_i (r_i x v_i)

Nel caso di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, il momento angolare può essere espresso come:

L = Iω

dove I è il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione, e ω è la velocità angolare.

Momento d'inerzia

Il momento d'inerzia I è una misura dell'opposizione di un corpo al cambiamento del suo stato di rotazione. È analogo alla massa inerziale nei moti traslazionali, ma per la rotazione. Si calcola come:

I = _i m_i r_i²

oppure, nel caso di un corpo continuo:

I = ∫_V r² dm

dove r è la distanza del punto dall'asse di rotazione.

Teorema di König e energia cinetica del corpo rigido

L'energia cinetica di un corpo rigido è la somma dell'energia cinetica dovuta alla traslazione del centro di massa e dell'energia cinetica dovuta alla rotazione attorno all'asse:

E_k = 1/2 M v_cm² + 1/2 I ω²

Il teorema di König ci dice che possiamo separare l'energia cinetica in queste due componenti: una legata alla traslazione e una legata alla rotazione.

Equazioni cardinali della dinamica del corpo rigido

Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido sono due. La prima equazione cardinale descrive la traslazione:

ΣF_esterne = Ma_cm

La seconda equazione cardinale descrive la rotazione:

ΣM_esterne = I^dω/_dt