Appunti di Elettrotecnica - prima parte

Richiami di Elettromagnetismo Elettrotecnica

1. Le equazioni di Maxwell

Tutta l’elettrotecnica discende da quattro equazioni, formulate da James Clerk Maxwell a metà

dell’Ottocento, che descrivono come cariche e correnti generano i campi elettrici e magnetici e come

questi campi si influenzano a vicenda. I modelli a parametri concentrati (resistori, condensatori,

induttori, leggi di Kirchhoff) sono una semplificazione di questo quadro più generale.

1.1 Forma differenziale Faraday–Neumann

∇ × = − ∂B/∂t

E –Lenz

∇ × = + ∂D/∂t

H J Ampère–Maxwell

∇ · = 0

B Gauss magnetica

∇ ρ

· =

D Gauss elettrica

v

∇ x, y, z.

L’operatore (nabla) raccoglie le derivate spaziali rispetto a Applicato a un campo vettoriale

con il prodotto vettoriale (×) dà il che misura la tendenza del campo a «circolare»; con il

rotore,

prodotto scalare (·) dà la che misura quanto il campo «nasce» o «sparisce» in un punto.

divergenza,

Simbolo Grandezza Unità

campo elettrico: somma di un campo elettrostatico e di

= + V/m

E E E

s i uno indotto

induzione magnetica T (tesla)

B campo magnetico A/m

H densità di corrente di conduzione A/m²

J spostamento elettrico (induzione elettrica) C/m²

D

ρ densità volumetrica di carica elettrica C/m³

v

1.2 Forma integrale

Applicando i teoremi di Stokes (rotore) e di Gauss (divergenza), le stesse leggi si scrivono come

relazioni tra grandezze «globali» — circuitazioni e flussi — che sono il ponte verso i modelli

circuitali: ∮ · dl = − dφ/dt

E con φ = ∫ B · n dS

λ S

∮ I

· dl = + dΨ /dt

H Ψ = flusso di D

λ D D

∮ · dS = 0

B n

S 1

Richiami di Elettromagnetismo Elettrotecnica

∮ Q

· dS =

D n carica racchiusa

S

1.3 Dai campi ai circuiti

Le equazioni di Maxwell sono e dipendono da posizione e tempo, mentre i modelli

vettoriali

circuitali usano poche grandezze (tensioni e correnti) legate da equazioni algebriche o

scalari

differenziali ordinarie. Il passaggio avviene integrando i campi su linee e superfici: l’integrale di

linea di dà una tensione, il flusso di attraverso una sezione dà una corrente. Prima di farlo, però,

E J

conviene chiarire le unità di misura con cui lavoreremo.

2. Unità di misura

In elettrotecnica si usa il sistema Metro, Kilogrammo, Secondo e Ampere. I primi tre

MKSA:

bastano per la meccanica. Ad esempio, per le grandezze cinematiche e dinamiche (l’analisi

dimensionale si indica ponendo la grandezza tra parentesi quadre):

[velocità] = m/s ; [accelerazione] = m/s² ; [forza] = [massa ×

accelerazione] = kg·m/s² = N

Per le grandezze elettriche serve una quarta unità fondamentale, l’ampere, che misura l’intensità di

Q:

corrente. Concettualmente l’ampere deriva dal (C), unità della carica elettrica Coulomb

coulomb

scoprì che due cariche poste a distanza reciproca si scambiano una forza, descritta nel capitolo

successivo. I

La corrente è il tasso di variazione della carica nel tempo, = dQ/dt, da cui [Q] = [I]·[t], cioè 1 C = 1

A·s. Il volt si ottiene dal rapporto tra lavoro (joule) e carica: −3 −1

[V] = [L]/[Q] = J/C = (kg·m²/s²)/(A·s) = kg · m² · s · A

Grandezza Unità Simbolo In unità fondamentali

−2

Forza newton N kg·m·s −2

Lavoro, energia joule J kg·m²·s

Carica coulomb C A·s −3 −1

Tensione, potenziale volt V kg·m²·s ·A

Flusso magnetico weber Wb V·s

Induzione magnetica tesla T Wb/m² = V·s/m²

Capacità farad F C/V

Induttanza henry H Wb/A

−1 −1

Conducibilità siemens/metro S/m A·V ·m

2

Richiami di Elettromagnetismo Elettrotecnica

3. Legge di Coulomb e campo elettrico

3.1 La forza elettrostatica

Q Q r

Due cariche puntiformi e poste a distanza si scambiano una forza diretta lungo la retta che le

1 2

congiunge, di intensità proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al

quadrato della distanza: Q Q

|F| = / (4πεr²) [N] Legge di Coulomb

1 2

ε

Il parametro è la e descrive il mezzo in cui sono immerse le cariche. Cariche

permettività elettrica

di segno opposto si attraggono, cariche dello stesso segno si respingono.

3.2 Il campo elettrico Q,

Se nello spazio c’è una sola carica la forza elettrostatica si manifesta solo quando vi si introduce

q. Q

una seconda carica «di prova» Tuttavia la carica modifica comunque lo spazio circostante: lo

popola di un cioè una forza per unità di carica.

campo elettrico, qE Q/(4πεr²)

= ⇔ = ; |E| =

E F/q F [V/m]

Q

Se è positiva il campo è dalla carica; se è negativa è

uscente entrante.

NOTA · Quale campo elettrico?

Il campo appena introdotto è il suo rotore è nullo. È diverso dal campo della prima

E elettrostatico: E

equazione di Maxwell, che include anche una componente indotta dalla variazione del campo magnetico

(vedi capitolo 7).

ESEMPIO · Forza tra due cariche −12 −6

F

Due cariche da 1 μC nel vuoto (ε ≈ 8,854·10 F/m) distano 10