Analisi I - Formulario e concetti principali teoria

ELEMENTARI

FUNIONI y|

PARABOLE (ax+bgtc

t

tan

M>

doC

tq

mX

4

VERTICAU

NON

KEE D:R

R(-oojtoo) D

DorUNIo: se

Im: >o;-o-saco

a

(-4to)

lm

→

m=o

sE

ɛwm#ojl45

R

CoboruNI: INSIETE cONTINUITA R)

CONINUMA: Rab

INSENE b PoTENZAY

FuNzIONE x*

ER SENPUOTÄ

yk

CUBICHE i

D:R a>o,

SE

CPESLE nt

aco

SE

DECREST

bm:R ,D:R a=2k

se

Ro

2kt4;

a-

Rse

oj

qa

CONTINUTÀ: RD se

Imfiy=4

(NENE R=D

CONTINuTÀ :

DI

INSsErE

ESPONENJALEU a

b:R cRESCE b:R\fo]

se a> a= -2k

iR'se

q=fk)

se

Imf:R

pu

k

lm

cONTINUITA:Rs CONÍNITA :

N

SAerE

IN D

(NSIENE

• N/K•?]

aeQ[meZịne

D: R

LoGART A

D:R CONyDERMS

s2rUoDA

PaR

ComE

ANArENTO CASI

TANT

CoNTİNUITĂ

ESPoNENUALE INSIerE

• ceR

ap

D: K,

AENO

o

nobuo ASSowD

VAORE R

bmf:

D:R

lmp: R IPERBOUCHE

GONIOETRJCHE

FUNIONI

ReD

CoNTINUITA cosh»)|

(*)

sinh

IERBOUCO

bi

INSIErE CoSENO

e

SENO Cosh(k) e"e*

=

(x) ee

sinh

y=I]] 2

x

DI

INTERA rfr D:R

PARTE D:R Imf: (Da

4too)

DR nhi4)

wTERUAu tsinh(x) FONDANENTALE

Cosh(k) = REAYDNC

SINGOu

cONTIAUmA

INSEHE e-e

Sinhcx)

(=

awh

(PERBoÚA

TANGENTE Coshu)

SEGNO ly] mf:(4i-)|

D:R D CoNTNUTà:R=

INSAENE (x)

arcsbgh

e

acemh ce)

IPERSOSCo

ARcooSENO

(PERSQJCO e

ARCOSENO

Pie

R

xe

se

XeR9:-4

ytsE

Imf [tso)

D:

D:RRRep

RIfo?=D

coNtINIn

b

INSIENE ARcOSENoy-rcsin ARcocosENOyarccoy x

KE

]

(9-co

coSZNo

(y-sinxE

SENO RESTRIZUONE PER INETTIVA DEa

FuNZOM ORSGtARSE

D

R

;

ITA

CONTINU

(NSAEME AD

DERIVABLTà:

pı

SsenE

IN

*]

lam

lyo

TANGENTE x]

ARcoTANGeNTEyarctan

R},

bi keZ{ D:R WMENVO

AveRE

PEk

RESTRSoNE ORSGR

PUNUONE

DELA

tn;+kr)

;

(wERNALU INSENE CoNTIWn:RaD

SNGou

CONTINUIn ;

NSEnE R=D

SERIE n

NUMERICHE

hobEO

SERSE ROSTtVĄnENIE

ivēRGENTe

COSTANTG !

SOCCESSONE

DI

t0osERSE

C= A

NTE

COWERGE

nENGQU!

DI

tERIE

n(n+) nt i

CONVERGENTE A

GENERAUZTA:

409 TEESCOAA

SERIE

deN

n

(n+a) nt

SERSE NDETERrUNATA -4<q<4

CONVERGENTE SE Ial<4|s-.

n DIvERGENTE 9>4

SE

RAGONE

SERSE cON

GEDETRSCA a, Q<-4

sE

NDETERYUNATA

pu

q

ne

VALE

• SHETAY2ZA3ONE;

QUESTA ERq=1

STUDIO SPEUEICo

DIVERGENTE

CONVERGEMTE

INDETERr, CASo PARSTCoARE

CX >

SE

CONVERGENTE

ARrONIA <4

SE

DivERGENTE

na

n ap

NECESSARSA A cONVERGENZA

PER

CoNIONE

+00 CoNvERGE!

NON

a

sERJE D

A

O,

On

SE

SERE TERTINI Vne

A DI (TSC):Z an, (aao

coSTANIE

EGNO INETERUNATA)

an →

TEOREa! REGoLARE

SERE

TSC NON

T3C

CONFRONTD

DEL rfr

CRITERSO ASINTDTITA

DI

CRITERSO sCa>o

(-4)Cn,

Z

(TSA)?

AUERNO

SEGNO

DI

TERUNI

A

SERIE (LEIGJ2): ca

TEDRENA lCao CONVERGENTE

SERIE

Pie QUALUNQUE (TS)

ERIE TERTUNI bI

A SEGNo too

Zae

ASsoUTA:

CONVERGENZA CowvERGENTE E

an, CONVERGENTE

he

CoNVERGENZA

CeITERI DI AssOwTA

Y<4 A, S.

O, E

CoNVERGE

d

RAPPORSD

C.DEL → STubO SEPARATO IwDETERrONATA)

è

DivERGEo

cONVERGc

NoN

>4

X

ntoo ASSowTAMEMT E

cowvGeOZ

coNFRONTDi seiP, SEHPUceneNTe

CawveRGE,

DEL

c. → a,

:lkca Oy

Y4 S.

CONVERGE

tao

n l=4 STuDIO SEPARATo

htoo )

PUNUONI

HE

SSIONI

SuCLE

(SIn

X→too

PER

NOTEVOU

INITI

Xto FoRn (4>94)

eauntmeNTE

9 too X→too ti

FORM EQUINMENTE

im -4

ta 2 X→oo

L un

cas

4-

- GONoMETRICHE

TRI

FUNVONI

PER

LJruT) COs

Sin ga €.artan

( X→too

pp

im FUNToNi)

(SoLo

X-oo

→0,

X

PER

NOEVOU

LITI a

ANALOGO

A.

rfr -4

REUPRoU

Pie to)

-cos

4

-

Liru TRJGONOreTRICHE

PER FUNUONI Cos fa)

IbEn arcsin

PaR

lim E,ctan

FONZONI EEMENMARIB

LE

PER

SVILuPPI DTAYLOR x

arctau

=

+ ^)

X

Sin X

= 6! n!

At.t(-yer)

+

4 n

e(rn)

44 x+

e= ti

+

2

-

In(4+)= x X3 + e(x)

+ n! n

3

2! 2

TRoNCATA

X =

tan ALI oRbrNE x+ 2

45

3 pu 4tavt

|4+x 4

2! 3!

X+3+24+ 95)

TRONCATA

X =

arcsin AYoRDNE +9(x)

40

FONDArENTAL

DERIVATE

O

=

DC ap

|DarctanK=

DEL PRobTO

DERVATA

CoSX

D Sin X= -sink

CoS

e K = 'g) +

Doga=

a.Ina

De=ex Da- QUoENJE

tERIVATA DEL

rfr bERIVATA DI AURE FUNUON

Dcotx= ConpSTE

X

Cos Sintx

D sinhw = Coshk) (e vIcaVERsA) FUNUONE ORIG, BERVAA DI

INTEGRAU FONDAMENTALI AGGUNGERE SEneE AL RISUO

x*dx = Pie CoN ) (wVECE DI K), NEINTEGRAE DEVE

FORwLE WPUAZIONE| FoRwE PARANETR OHE

2sinRosR

&

2

Sin = 2t

Cos2 A-2sina 2

Jcosndx

xdk= Si

Sin -cosk e - x 2

4 tt

sin2K

J ccosX

dk

FONDAMENTALI per le DIMOSTRAZIONI elencherò solo i punti fondamentali.

CRITERIO DI INIETTIVITÀ FUNZIONI …

hp f: A B, f strettamente monotona in A

⇒

th f è iniettiva in A

DIM f str. mon. (prova con str. crescente); ASSURDO ; controesempio (retta)

≠ ⇒ ( ) = ( )

1 2 1 2

IPOTESI COMUNE ALLE DEFINIZIONI SOTTOSTANTI: ∈ ⊆

INSIEME LIMITATO +

hp oppure i

, ∈ : ≤ ≤ ∀ ∈ ∈ : || ≤ ∀ ∈

th E è limitato nt

MINORANTE, MAGGIORANTE

hp ℎ, ∈ : ≤ ℎ, ≥ ∀ ∈

th h è un maggiorante di E; p è un minorante di E

MASSIMO DI INSIEME (analogo per MINIMO)

hp ∈ : ≤ ∀ ∈ pu

th M è il massimo di E

OSS: se un insieme ha cardinalità FINITA allora ammette m, M

ESTREMO SUPERIORE DI INSIEME (analogo per inf: λ)

hp Λ ∈ : 1) ≤ Λ ∀ ∈ ; 2) ∃ ε > 0: ∃ ∈ : > Λ − ε

th Λ = ()

TEOREMA ogni insieme ha sup (E), inf (E), finiti o infiniti

ap

INSIEME ILLIMITATO SUPERIORMENTE (- k per ILLIMITATO INFERIORMENTE)

hp ∈ ; ∃ ∈ : >

th E è illimitato superiormente

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

hp (intorno di centro in cui cade almeno una )

≠ , : ∀ ∈ , ∈ ∈

0 ( ,ℎ) ( ,ℎ) ( ,ℎ) 0

0 0 0

th è

0 rfr

DERIVATO DI UN INSIEME

hp quella generale

th Ɗ(E) è '

0

TEOREMA Ɗ(E) il suo intorno avrà infiniti punti

⇒

∈ ∈ , ≠

0 0

________________________________________________________________________________________

INTORNO DI UN Xo (SIMMETRICO)

Pie

hp , ℎ ∈ : | − | < ℎ

0 0

th è ' ( ), ℎ: ( − ℎ; + ℎ)

( ,ℎ) 0 0 0

0

TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS

hp insieme limitato con infiniti punti

⊆

th E ha almeno un

0

OSS: per insiemi illimitati si considera N ha

⇒

=+ ∞

(−∞,+∞) 0

ESTESO: con infiniti punti ha almeno un , al finito o all’infinito

⇒

⊆

0

______________________________________________________________

DOMINIO DI FUNZIONI SUPERESPONENZIALI

β() β() · [α()] ha dominio

() = α() ⇒ : {

α() > 0

} ∪ {

β() > 0 ∧ α() = 0

}

NUMERI COMPLESSI

: studia dagli appunti.

SUCCESSIONI : ⇒ ℎ ⇒ = ()

ESISTENZA LIMITE DI SUCCESSIONE FINITO

+ basta che valga da un certo n in poi: definitivamente

⇒

∀ ε ∈ ∃ ∈ : ∀ ∈ , > ⇒ | − | < ε

ε ε

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE …

hp ∃ lim =

i

→

+∞

th ∃! nt

DIM

1) ASSURDO: ;

lim = ( ≠ )

1,2 1 2

→

+∞

2) definizione di limite per entrambi;

3) ricerca valgano entrambe le definizioni;

= ( ; ): ∀ >

ε ε1 ε2 ε

4) | − | > 0

1 2 pu

5) ricondursi ad da 4) diventa

⇒

| − | < ε | − + − | > 0

1 2

6) disuguaglianza triangolare riadattata: |( − ) + ( − )| ≤ | − | + | − |

1 2 1 2

7) | − | + | − | < ε + ε

1 2

8) in tutto viene 0 < | − | < 2ε

1 2 | − |

9) poniamo ad esempio ; sostituiamolo in 8) per arrivare all’assurdo (0 < 1 < ⅔)

1 2

ε = (> 0)

3 ap

SUCCESSIONE DIVERGENTE POSITIVAMENTE (< -k per NEGATIVAMENTE)

+

hp ∀ ∈ ∃ ∈ : ∀ ∈ , > ⇒ >

th lim =+ ∞

→

+∞

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO …

hp → ≠ 0

rfr

th ha definitivamente segno di l

SUCCESSIONE LIMITATA (né diverge né converge)

+

hp oppure th è limitata

ℎ, ∈ : ℎ ≤ ≤ ∀ ∈ ∈ : | | ≤ ∀ ∈

…

TEOREMA SULLA CONV. DELLE SUCC. LIMITATE: converge è limitata (valgono ipotesi hp)

⇒

DIM ⎰ ⎱

Pie

1) definizione di limite: da qui resta fuori l’insieme limitato = , ... ,

⎱ ⎰

1

ε

2) in B esistono sia M che m: = ≤ ≤ , 1 ≤ ≤

ε

3) dobbiamo soddisfare sia che (definizione limite)

≤ ≤ − ε < < + ε

4) poniamo e

ℎ = (; − ε) = (; + ε)

5) unendo le due condizioni otteniamo ℎ ≤ ≤ ∀ ∈

CRITERIO DEL CONFRONTO

hp e regolari,

< ∀ ∈

th lim ≤ lim

→ →

+∞ +∞

TEOREMA DEI CARABINIERI

hp , , : ≤ ≤

th lim ≤ lim ≤ lim

→ → →

+∞ +∞ +∞

SUCCESSIONE MONOTONA

analogo alle funzioni monotone

TEOREMA SULLE SUCCESSIONI MONOTONE

hp monotona

th regolare

(∃)

{ } { }

OSS: monotona crescente: ; monotona decrescente:

= , ∈ = , ∈

CRITERIO DEL RAPPORTO PER SUCCESSIONI i

hp a termini positivi, ,

+1

lim = < 1 nt

→

+∞

th lim = 0

→

+∞

ORDINE DI INFINITO

+

hp ,

lim |

lim =+ ∞ ∃ α ∈ |=≠0

α

→

→ +∞

+∞ pu

th è un infinito di ordine α

CONFRONTO TRA SUCCESSIONI INFINITE

hp divergenti (infinite)

th

lim | |=

→

+∞

PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITI …

ap

''

hp , (idem con ) ( termine con ord. di infinito maggiore)

, ⇒ + ∞ = ' + '' : lim | | = 0 ' =

'

→

+∞

'

th (DIM: basta raccogliere l’infinito di ordine superiore ed eliminare ciò che fa 0)

lim ∼ lim

'

→ →

+∞ +∞

ORDINE DI INFINITESIMO

rfr

+

hp ,

lim |

lim = 0 ∃ α ∈ |=≠0

α

1

→

→ ( )

+∞

+∞

th è un infinitesimo di ordine α

CONFRONTO TRA SUCCESSIONI INFINITESIME

hp convergenti a 0 (infinitesime)

th

lim | |=

Pie

→

+∞

PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE DEGLI INFINITESIMI …

'

hp , (idem con ) ( termine con ord. di infinitesimo minore)

, ⇒ 0 = ' + '' : lim | | = 0 '' =

''

→

+∞

''

th (DIM: basta raccogliere l’infinitesimo di ordine inferiore ed eliminare ciò che fa 0)

lim ∼ lim

''

→ →

+∞ +∞

ASINTOTICITÀ TRA SUCCESSIONI

hp (stesso ordine)

lim = 1

→

+∞

th per

∼ → + ∞

GENERALIZZATO: per

lim = ⇒ ∼ · → + ∞

→

+∞

+∞

SERIE (succ. della somma primi termini)

∑ = + + ... + ⇒

(. ) 1 2

=1

SERIE CONVERGENTE, DIVERGENTE, INDETERMINATA

hp lim

→

+∞