Ripasso pre-esame dello svolgimento degli esercizi di Algebra lineare e matematica discreta

Flash exercises

Esercizi flash

Giuseppe Antonino Cotroneo

Descrizione esercizi di algebra lineare

Sistema lineare parametrico a parametro K

Scopo

Analisi dei valori critici K e dei possibili risultati.

Svolgimento

• Dato il Sistema costruisco la Matrice Completa A|b con a SX la Matrice dei Coefficienti (formata dai relativi vettori colonna per le variabili) e sulla DX la colonna (o vettore) dei Termini Noti.
• Riduco adesso la Matrice a Scala (in forma triangolare alta con tutti zeri sotto o bassa con tutti zeri sopra) con Eliminazioni di Gauss (facendo attenzione al numero di scambi di riga o eventuale normalizzazione) e trovo il rango considerando il numero di righe linearmente indipendenti (osservando il numero di elementi pivotali, nonché primo elemento NON NULLO di ogni riga). Ricorda inoltre che eventuali righe di soli 0 ottenute nella riduzione non concorrono più al calcolo del rango.
• Analizzo il Teorema di Rouché-Capelli il quale afferma che se rnk(A) diverso da rnk(A|b) allora il Sistema si dirà essere Incompatibile. Se rnk(A) = rnk(A|b) allora sarà Compatibile. Inoltre se rnk(A) < N_VAR allora esso sarà Indeterminato rappresentato con infinito elevato alla N_VAR - rnk(A). Se invece rnk(A)=rnk(A|b)=N_VAR allora ammetterà una ed una sola soluzione calcolabile con la risoluzione del Sistema Omogeneo Ax=0.
• Trovo il determinante dalla diagonale principale della matrice a scala o eventualmente con altri metodi come Sarrus (sconsigliato dal professore poiché valido solo su matrici 3x3) o gli Sviluppi di La Place e i minori (facendo attenzione alla selezione della riga con più zeri possibili o 1 eventualmente per semplificare i calcoli e alla relativa selezione del segno osservando la somma pari/dispari degli indici o il metodo grafico per l’alternanza del segno).
• Pongo il determinante = 0 per trovare i valori critici K.
• Analizzo il caso Base con determinante diverso da 0 e K diverso dai valori critici trovati. Esso garantisce sempre una sola ed unica soluzione.
• Analizzo ogni K con sistema omogeneo A(Kn)x=0, risolvo il sistema sostituendo K nella matrice d’origine o in quella già ridotta a scala per far prima.
• Ottenuti i vettori risultanti e definite forma parametrica/cartesiana rappresentare graficamente sugli assi cartesiani (se richiesto).

Trasformazione/applicazione lineare T

Scopo

Verificare Iniettività e Suriettività dopo le relative proprietà principali.

Svolgimento

• Partendo dall’osservazione di dominio Rⁿ e codominio R^m possiamo definire che se n<m allora mai iniettiva ma forse suriettiva. Se suriettiva avremo un monomorfismo. Se n>m allora mai suriettiva ma forse iniettiva. Se iniettiva avremo un epimorfismo. Se n=m allora avremo un endomorfismo e potrebbe essere solo iniettiva, solo suriettiva, entrambe (biettiva) o nessuna delle due. Se biettiva si dice Isomorfismo (o Au