Ripasso Analisi matematica I

Dominio e studio di funzione

§È Faid'' ii EE ☒#Dominio1 . simmetria2.3. segno4. Intersezione gli assiconverticali5. Asintoti FYI( )»± l)(asintoti orizzontali =L qualsiasiline • numero=•±✗ →"Potrebbe asintoto a) asintotoobliquo ( obliquolineGe f-)esserci ¥leggo f- -19mx(-19 )mx m mxq0 y 5-=y ×≠ = - • ==• a= ☐☐, ±_ ✗ a→Derivata6 I.7 )Monotonia ( 'criticipunti ≥ 0ye. Derivata8 I. "(flessi f-" tangente9 )Concavità nu =L flesso obliquapunti1=0concavitàY in di(e a. ✗o ✗;≥Campitura10 . erfiivve.EE(a)D valore qualsiasi01 a= =•. ( ) 12. ☐ × = .EESETTPP#-1D= nxn(3. ☐ ✗ .derivatedelleSono allele applicate4 regole funzionifn)(☐ n. -= -11n✗ } }(21-3×3) (2+3×3)'"(2+3×3)5- Esempio)( ) 36×29Tx 4( quadrate :le1 ✗radici☐ solo .per =y= zie)TTP(D6 Esempio 4=1×1-+5,4 1×-1-3,51 : Zx. = .- n 5( 3)2np +✗✗ ÈÈè) È× Esempio f-(7 È2 ✗: y☐ e == =. . . ,,"" )f'/ Esempio×(8 )21×-1f ZX) : y 2×-2e☐ ee yzx ee(☐ = -2e e × . -= - ,,. . >. == =.1) 2( 21)( (1) 2 ×X X-- -> >1)'( -1112of Esempio )/ []D 1×2+1ai '[ ( )✗ (x2 x2( sen9 ZXY + -11log =3: cosysen sen >= →a= . =.. 21) ( )' x2)/ (10 D -11f- +log sen ✗ cos6× × .=. Dflogax )11 1 logof-oppure e=. logo ,✗ ,1)12 )( × cosi. =sen13 ( )☐. × sencos ×= - tgx" (D ) )✗tgx 1 +oppure- = COSZX) )15 cotgx( (cotgx 1☐ e -1oppure. = -_ senz ✗16 )( 1×☐. arcsen = 21- ✗( )D17 1arccosx =. _ 21- ✗18 D )(arctgx 1. = 1-1×2(19 )arccotgx☐ 1. = 1-1×2IÈL.ee#qEee.dIiidd!@:rriii.wEE-ZiiE.me. ÷÷↓→%÷÷÷e-rrsEEWim.o rg ?bgpIMI L ANB I N G . M Y ? j z M ! ka : g g Malgebricasomma• :Regola del prodotto• (B)Y' / a)B A=D BA -1 ☐•✗ •- -=Regola del quoziente• )((A) B# AY' B☐☐✗ • --.= = 132Regola dell' esponente• eff' ) )/efl » ×× Il Df Digli)' )/fy )glx)/☐e y × ×= = +.☐ . .TTE@Femm! a 'f- O(C) =m =ROLLEI -- if- -1lb) Bai(a) = . . ③Se FIXfunzione ) buna : a c' )53E ( ?]continua f- ]3,5][limitatointervallonell' [2)(Esempio continuachiuso b [inI 3,5log )(e ✗• Ec. 2 e-a. ×: ☐ > ×× ☐-= . )}{( 112' ']intervallo [ alinterni dell' EsempioE ' flxderivabile bpunti ]] Dominio 3 [[ piùderivabile si possonoinnei )3,5I• 3,5e-:a. - ☐y o = .= gli, escluderediestremi =)(2)dell'Assume FIX 2 f- f- F) f-agli intervallovalori uguali f- )( b (1) (1))( Esempiof-estremi cioè /(a) ] 2• [I-13 1,2: ✗ 2o =2 =a✗= = =-, , )'Allora [ (all' derivatacuiintervalloalmeno la flx)cioè f-annulla] derivatainterno dilabesiste inpunto Quindi(c)siprima si 0pone0un a ±c ==, ,, all'Il il graficoteorema tangente parallelapunto ammetteverificato nel di ascissaCOMMENTO asse ×è e: ✗ = . . . ALAGRANGE f- ( )TEOREMA bINTERMEDIO BI VALOREDEL . . tgà.' ] f- ME [ allimitato aib (continua intervallo chiusonell' e . .• #a ③ba c] [intervallo' bdell'internipuntiderivabileE a.nei• ' )f- fla(Allora f-almeno all'interno intervallopunto )taleesiste (c) bcheun c = -b- a dell'teoremaIl tangentelailpuntonel estremiverificato allaparallela intervallorettaammettegrafico passante gliCOMMENTO è: ✗e per= .. .f :[ ] V27# È( > 271=3 Fizz1×1=3 f-I in Flo)f-derivabile )0,27 )IEsempio (a) =3( §32e- 0 c-• •: =a. - =, =27 -0E DI CAUCHYTEOREMAflxSe ) funzioniglx) sonoe [ ]continua limitatonell' bintervallo chiuso• a.e []intervalloderivabile internipunti bnei dell' a.• inoltre interno intervallo ,b[dell' ]puntog' ogni≠ O(c) in• aAllora '] tale f-[all' F (a)(c) b)intervallo f-punto interno /balmenoesiste cheacun -, =G' ))9lb gia(c) -IL teorema verificatoCOMMENTO : è( )3×2-1 'Esempio f-f- Flocontinui F (a)(c) (b) f-derivabili) 1111++11(2)] f- %)in I GIO[) 6×-1gli 1-1): 11 11g( 2)-1( sono aI eo ✗0,2× = == === ; -=; >=a =☐ =, , G' glb) )gia(c) -PE'et * ii.# E@EE @ MAIKneeEEEEinvia ⑦minimodipunto→Per ] flxmil di ]Weierstrassteorema )b[me e ma. =. ✗ massimodiPunto#Per ] f.teoremail (Weir )Mdi ✗• strass × e m=caso bcoincidono1 estremigli: ✗ ✗ conm ame ,flxm Mb) f a)/fla) ) F /- ✗m = == == f'flx ) tx) ]( [• costante O per aib×= E=da aibdiversocaso è2 ✗: ✗om m ]Supponiamo [aibb interno. ≠sia ae-xme✗ mia 'FermatPer f CE/di- il teorema ) 0 ✗✗ m = m.EE#!fllE$0Qi!MNI"÷MAI "..Limiti Comenotevoli l'unottiene• )(si sen 1×. =o✗ → ✗" )divido (tanx )• senticos < 1tutto ×¥sen✗< < ¥sen per×✗ sen < 1✗ sen ×< <✗ < e→→ → →cos ,✗ ✗a×' Costo)• 1☐ =× Quindi seri1 × 1 1sen< ✗< =✗Derivabili toi derivatasignificato geometrico di- :e / (f ) )(fincrementale Flinedalsignificato derivatodiIl geometrico rapporto D= rapporto0th incrementale✗ ¥✗ 0✗espressoè : - =•h ho→La infatti delderivabile)quando (toiderivabili limitifunzione nelscritto destrosinistrolimite punto quandoesiste dueè isussiste solo questo sopra ✗ euna o, ,fino flxoth FIXO)lineincrementale IR)esistono )quindi flxofiniti )hanno lo valorerapporto lineed -1hstesso EC: - -= =+, 0 nh ln- n ◦→ →/ f-Grafico devo )negativaribaltare la( f-) specchiaredi parte devo laX- :Esempio: mea 66 .. a)a) '' '' ✗-3→ ribaltachenegativepartile" "°.. . .. ..g--- ----6 --Eemeli.mn#iii.-EEiUna nelil puntotalein punto delvalorepuntofunzione funzionecontinua allimitesi indice lauguale valore che assumeèse✗un oFline f ))/ (× ✗= 0✗✗ ◦☐↑ La ?{}continuità le"funzionisolitamente parentesinellestudia dove"dette trattisi ci sonoa ,È.am?-tLiidd!ii:.dd'ii$EE.nn-Eii.nna- È 'ii. :* della funzionedestroSono deve limitecalcolare il sinistrosidi specie3 ee• a1 • B(line l )dettoIla 11 saltollaf di -1) specieI èpunto( ≠ ✗× 1- ± - •> o ;- .✗ ✗→ o aalmeno risultato punto speciediF- "è ±a e-un ✗☐ o a 1⑧egiu ,,gumina , µ, yuguafunziona ,,g , ,, una nano ,)f punto, .ammagna/ ,specie ,× , a. .ua ,, ,× , ,, a•+✗✗ ◦→↑ ↑questi fermarmirisultatiSe facendo iniziale devo f- trele verificare devodiscontinualadestro funzioneottengo )limite sinistro coincidono la cui( se none e- per✗e = 0 , ,{Esempio 2- -11: <✗✗f g-) 2-1-1 ≤× <, ✗× = ?logz Solo( 1) nei fa sinistrolimiteilripetonoche alloridovenumeri si sila×- 1 2≥ ✗× e < n-Èline O. =1- d✗ d.→ I specie- p1✗ = .aE-line f- -1=-3-21-✗ =-- -1✗ -1→ ,line { -1--1-1=0×i 01d.- Speciep I✗a 2✗ → =a ..)(1)(lim log1- 0-1=-1loga 1-1× - = -- =- _,←✗ → ÈOOÈbbiittiieriI derivataderivabili tàdipunti delladal dominioquelli esclusisononon della derivata funzionedestro dellalimiteildeve calcolareSono sinistrosidi especie3 e• {FÌ lline angolosola puntoI) e-≠1-× ✗☐ o• .✗ ✗→ o disegno opposto cuspidiE e-✗• ◦•FÌXl' punto tangentedello stesso verticaleflessodi) Ii segnoo ✗•u n ao• +✗✗ ◦→ Y YY si, ,'' i.. : flesso' verticalediangoloso tangentepuntopunto cuspidipunto )) aI II% a ◦ci.- - . _ ×c c ×;: : :↑ ?CONTINUITÀ derivabilefunzioneTEOREMA continuaèDELLA Se viceversaancheè nonuna= ,?⃝ Esempio funzione derivabilecontinuadi nonma4=12×-31 §2×-3>0 ≥× 3-. ' +_{ 2×+3 3-2✗ <-flx ) = ≥2×-3 ≥× 2E) Hai la⑦flx IRintera) D=✗. •= flx' D=) )glx -1-0y a= glx ) 2 1-1 0≥ 1✗µ 1✓ ±≥ ±×1-✗ ≤ - I .-È .1 )2- , Vx✗ .° D= 1≥ oD= aEsempio 1- ✗≤ <( ≥fix •) : +0≥ 0× + ->- ☐• ×y ✗ --= Ifk TF1 TÈ IR( { }IRDfixD= D=D=Esempio 1) )- -a ;: yy =y == D=log f- flx) )(y × a 0. >= D=log fcxIf / ) -1-0)(y •=. ×ef "' DflxD