Prove d’esame svolte di Automatica

Prova febbraio 2010i

E(9: 90)1 = -. Kahe-kehe)InGeo-Es (uE +=h (kehe-Kahe)= (ha-Kohakzhzy = 1 m2AzAzAn === 1m2/sk1 = 3 m2kz =LeSeha hkzhz= +-3hzy =SExyn x1 += - 4+2xc3Xz= += 3x3y-Gi2x1 Xz 4= +-y 2x22x1 += - Y(s)G(s) = u(S)S SXn(s) Xz(s)= Xz(s)SXc(s) 2xn(s) u(s)+= -Y(s) 2Xe(s)2Xn(s) += -Xc(s)Xn(s) = S Xc(s) Xz(s) u(s)SX2(s) 2 += -S(s)X Sxc(s)v(s) Xz(s)2= -- -SXc(s)(s 1)5u(s) += -u(s)Xa(s) = 3 1s +-X2(s)(s)↑ 2xc(s)2 += =.- S u(s) 25.s + =-= E 1+- 2su(s)2u(s) +- =- E 1)s(s +-&u(s)= 1) 2)= 25 225 22= 25 - sta--(s)G = == =s(s 1) (s522 2)()s(s 2 1) 2s +++ + ---ja2G(s) =Polo P 2: = - G(s)i poli realeTutti negativa Aspartea =>Confronto sistema LTIilcon :S Yn Xz=Ye 2x1 Xz 4= +-y 2x22x1 += - 1OA = 12 -X 1-AXI =- x 12 +- xX(xdet(xI 1)A) x 22+ += =-- - ( 2)1 4 9= =-- . 71 = 3 --x == -22Reco↑ 2= -1 e12 il sistemaReso1 Asnon= - perchéfunzione trasferimento formafatsi èG(s)Dalla proprietà stabilità sistema Ladidi indellededurrenon possono nonminima . Gen· BABA(AB)Mr = ATcTy 2x22x1 c"+= - Mo =O01 B 2A c 2= = = -I12 -Raggiungibilità :Mr ABB= Og I 1AB == 1 112 -- 10Ma = 1 1-(Mr) sistema raggiungibilemassimo1det + 0 rango= -Osservabilità :c AcTM =. 20 2 &Act -= =121 4- - perchéG(s)dunque 1il Polo nellaPe comparenon=è osservabilenon124-.M = 2 4-(M ) osservabile8-8 massimo sistemadet 0 no=> rango non==. èIl raggiungibile osservabilesistema none X(0)Risposta t3 scalino quando.2 allo 35 0a = = 7-L5 sca(t)> xt1G(s) As e>S X-u(s) sca(t)= ja seE(s) G(s)G(s)G(s) u(s)= == =. . -y(t)==my() (s)()y(t)[m ==yo = = I -2 2lmY(s) ma(s)u(s)y(t)im = = oy -= = s +2je 5Y(s) v(s)f(s) == == . -ts(s e) C+ 2)Bs((n=(s B)2) A-0B2 1BB + AS+5 + =+2a+ ++= = ==S(s 2)+ s(s 2)s(s s(s2) 2) ++ + 1= -15= - s 2+7-1 d sca(t)71-L1 at-e>2S + 2ty(t) -sca(t) e == - S set co0sca(t) = Se t1 o=2t-1 e= - 32 e.-y(3) 1 1 997e 0= = =- - .1u(t) i 13 = =. LinearizzatoSistemaS :of of of ofXzX1 X 3 auofeofe BA ofe= = OfzX2X1 X3 Ouseof Ofof 3X 3Xe(x 1)20 = -- =og ogx(Xn 1) DC0 u++ == - X1 Xzx1(x 1) 0=-- 0= Xi =2 1 11Xz Xz ==O G*X1 == 11 z -Linearizzo il sistema xz: 1 2x1Xc+- - OB CA X1DX 2 0=== =X 2xe(Xn 1) 1+--Sistema linearizzato :S ( 1)8xn(2dxn 2x28x2+= --x28xndxc 1)dxz2x2(kn du++= - -dy = + 18Xz28x1Co O=. oxe -20x2 o= - +1dx1 dX108Xz+ =Sonoxerox todX11dx1dy 0dxc+= = --O OA: =1 -1 2-X OXI A =- x 21 + xA) 2)x(x(xIdet 2x 0++= = =- -= a21 2-x == 2ReM 0 0= =Reco ↓ 1↑ 2 n= =-1 i 1v=> =1 stabilev autovaloren >= ==Sistema linearizzato stabilesull'equilibrio 1concludoNon nullaO OA- =2 1 2- X GAXI =- A X 2- x22)(xI A) X(xdet 2x 0== =-- - -= 2=+ 22x = 2 ORe↑ instabile2 0> >= =xz 0= linearizzato instabileeIl sistemaequilibrioL instabilee2 (s 10)-<(s)4 Im0(s= l10)3+luogo direttoo M>p >-Zeri 10S-10 S0: == Mz1 10= 1209Poli S10S 100+: = = - -XaPzP Pz10 1010 === - >- # O>- >> >Σ9, , Re20 1010- -Lramipoli3 3 2400 L#poli-#zeri 23-18 === infinitorami2 avanno= Wf(i zi iPi)x == - E(10E( 10)) 40)(10 2010 + =+ == -.- -- k360°180 + B)3 B3aB213 31& (A Bil direttoLuogo + +per +- +=ak 2k 0 10 1= =-....,, 10= . :180Ja 909+== 2 %180 360 590+ 270( 90J === -a 1 2 finosistemaIl e As oa p =10-101 1011015 10 10)Pil 4010 10+ ..+ - -: . perché.(0) 100 100- po+== == Ti(5 zi) No+ 10 10+As AngoliIl sistema partenzadiper oc 100é pc :E (2kOpRouth-Hurwitz 1)Verifico %100con 4p4z+ +: = -P k310 1 20V == =-~ , ,polinomio caratteristico 5 180 10)9 ((2k 1)D(s)X(s) pN(s) % 10+ ++= === --10)(sp(s =10) 1000(2k 1) ( 20)= ++ + + ==- 53 1800)5(1803052 (2k 1)°1000300ps 10p ++= + + 360+ + ===- 1200=k 0 3=33 (360 180=(300 (1000 10p)305 p)s ° 2k 1720+= + + ++ =- - k 2408= =3k 1080 36002= =31 300 pA +b 30 1091000 -80 sp0 OC t31000d O10ß- an a EdetE det 2C 2= - = = -by ba 33001 p- + - detdndet == =30 1000 10p- 1000 109-3 -det(1000 p))30(30010p= = =+ == -- O80op 10p))(p)(10005 30p) (10009000109 == = -- --- =080005 (-0000 cop) 1000 108= - =p= --be by-E detda 0== CnzRouth definitadi benTabella haprimaesistema laIl tutta stessoloAs colonnase segnobyan >0 >0,800C1 = -000 20 Koap-800 -200dn 1000 10p 0>= - 100010p) --10p 1000p100cheConfermo sistema Asil op 100é per XhannomatriceUn transizione. dellaè itutti stato disistema poli di parteautovalori realedi A5 gliAsLTI ovverosea. , ,negativa . extchesignifica formai sistemaciò modi Xdel della sempre >osaranno conetm 8 0éePerciò tPer e0 --che stabilerisposta asintoticamenteConcludo LTIsistemala di +-all'impulso statodello 0converge perun + oa X(s 10)-<(s)b p=. 10)3(s +1s(s) = <(s)1 + S(s)I <(s)denominatoreradicidi 1Poli dellesono +e perché1(s) polinomio caratteristicoal1 ugualeMa ,+ :p( 4p(s) c(s)pN(s)X(s) 1++ + === perchéS(s) ((s)formare ,Nel il denominatore di cancellazionie denominatoremassimodaldato cideldelgrado grado sononon, 10)310)3 (s(s+ +D +S(s) = == = 10) 33(s1 3052 poliN (s 10) 3-3D grado3005 1000+ s 10++ + +++ >-- haha s(s)S(s)denominatore diQuindi poliil grado 3 3ovvero, harichiesto s(s) L(s)Se cancellazioni polici 3 comecomesononon , , Xhannofasetrasferimentofunzione èUna semipianoZeri sinistro cioédi i poli nel partetutti negativaminima suoi.C realesea sonoe .,d)G(W)funzione variarealeIl rappresentazionepolare delladiagramma di wecomplessauna 0 +. (efrequenzafare sia siaPuò sistema soprattuttoin antiorariogiri in Policomportamento delorario del didellasenso seconda presenzaa e,coniugati)complessizeri anchechepuòfunzione faseUna minima in orariodiagramma girapolare sensoaverea un Xproprietà linearità SistemaeQuesta diretta della.d del dTI .conseguenzauna 4)y(tfunzione X(t) inizialeLa risposta stato tempoda to, partendostatola tempo tto rappresenta dello al uno al e conXo o ,,, ,ingresso .u(t) inizialiPer la iniziale statiLineare rispettoesistema LTI risposta stato aglialloun .Formalmente : B(t0) 0)cy(t xBX 0) IR4(t VX BExX X00 0 += ,,, ,. ,, , ,,,1 eBIn questo 2caso c :== 0)2(t0) 0)2xi x0y(to4(t + 0Xo 0X0 +0 = ,, ,, , , , , , X"equivalenti" che sistemisi intende iPer.e :hanno lo stesso la uscitastessaingresso· e ;rappresentazioni dello stessodiverse comportamento dinamicosono· ; Tx)(cioetrasformazionerelazionati coordinatedidasono· una = . *-c(SI-A)hanno trasferimentofunzione G(s)Dunque Dsì, Bsistemii didue stessala +=.

Progetto statico

6 1 Progetto statico :leal yo 10 sca(t)(t)= 1 quandoa = 10 092 =ML1 +10591 1=mS(s)(s)leol simsE(s) sime(t)Lim = =S== = -IL(s)1 + o > og10 1Scelgo 096920 gr=gy + == =1 ML+ 09 = Regolatore PIMy 10 Mr :Mq.My gr 0== = ni(1 +is)Ma10 +R(s)1= = . mi(11 Tis)10Mp 59r+ +Rz(s)Ri(s)1 10Mp = 10+ ProgettoProgetto910Mp = statico dinamico=Mr MaMrMc = .R(s)Scelgo 11 92 gr> 9GMr += == = 5555- -e eRn(s)G(s)(n(s) G(s)note quindilaguardando1 1010 Ma sonoe ga= == . (20s 1)(100s 1)1) 1)(100s(20s+ +++ facilmente ricavareposso Ma e GrProgetto dinamico : 55-eG(s) 10= 1)1)(100s(20s ++M 10=(Ma 110/dB 2010g10 20===Zeri nessuno: 2Poli 12051 S201 0500+ =: === - -- .1 01111005 1005 00 s+ = == = -- - .PzPr 01050 0= =- -. ., IG(W))dB~60 -40 - rad/s070W =28- .cTC /05= 0wc . =11111 15 o- 13I I wrad/s · 1 100- 1 1020-- db arctan-arctan100180-1-0Im 507= -... 290% 15520 82-1188 18054= = =-- --richiestesoddisfattoHo bladle nonmaa, c , (W rad/s)abbassare possibilePer risalgo 1pendenzaminimo ilspostareal vedere dovesposto PoloUm 05 percone0W = ., .IG(w))dB160 -40 -28-C rad/s050w =< .=É05= 0wc . X-11xx >II I I wrad/s 005·0 052 .0 1. - 100- 110 101020-- dSposto Pr 01da 0050 0a. . arctan-arctan1001180 50 05Ym == - -. .- . 301 4584180 193190 180= = =- - - -il cambiandoil alzoVoglio ilquinditenere Peritardo spostato polopolo appena Ume ,4x)80°1 700180 14 =ym = - - --98° 70° 4p180 =-- 82 12°70=4p =- --. 128=4p2 22050 :.Pe arctanYpz10 =-= =. 10 . (Rc(s) =05: : 12-P2 3=1 arctan4pc == Re(s)Ri(s)R(s) = .IG(w))dB160 -40 -28- XX I >Iio-1 Iis w0051j0 2 ·. - 1001 1020--40 -- 60-- 3°1 14180 84ym = =-- -- 79778v1011800= - = richiesteSoddisfatto tutteHo LeSPr 111005 20052005S 0-0: +=== = =-. 0050 .Pr S 1 S 1 0+: == - 55-e(s)↓ 10= (200s 1)(s 1)++ 1) HT02-55 (20s 1)(100s2= + +Rc(s) == · 55(00s 1)(s e1) -+ +(20s 1)(20s1)(100s 1)(100s 1)+ + + +Ri(s)R(s) Re(s) 1 -= = -. 1)(200s(200s 1)1)(s 1)(s+ + + +=?rispostadellaTa scalino2.6 allo In 100>%6 se79° Ta75 =ym sec=-= V °Poiché 4smorzamentolotrascuro75Ym > em6dsarebbe .Altrimenti 2Tj con == & Wa 100

Prova luglio 2010

Gan(t) f(ar) Fe9n(t)ne(t) He19y(t)% += --a (t) f(an) ke19e(t) (292(t)k2392(t)9 = - - -a3 k139n(t)(t) k239e(t)42(t) + += az(t)y(t) =k13 k21 1==kzz 2= 9(41)8 = 391 an(t)g(t) un(t)92(t)93 ++=S - -1 + 391aac 392(t)k29z(t)292(t)(t) 92(t) k292(t) ++ =-= - - -- aaß 11 ++ue(t)an(t)as(t) 292(t)+ += 9z(t)y(t) = ?XXnSox XzXn + ur+= -- X1 + 3eΣ kcx3xcxc += - - Xyz 2x2X1 4e+ += ."SiX1= 2x2X1y += L1 3--A O8M= 121 -x 3 &1+ -XI-A X- 1 G- x 11 2 +-- c(e x)(x(xI 1)x(x 1)A)det 3+ ++ =+=- -1)(x 3)(x xxx 2x++ += =--x xx xxx 233x+ + ++ += - =-x 2x x(4 a) (3 26)+ += +- -RouthTabella di : 4 XA - 2E(3E E(8 xx) 5)1 det x4 (1Xa =