Problema di analisi complessa 4

Problemi di analisi complessa matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

Problema n. 4c

Partendo dalla relazione

2 n ( )u Sinh ux 1∞∫ π π= <( 2 n )du [ Tan ( x )] , , xu 20 (Sinh )2e

ponendo x = 0, dimostrare che:

+ n 2 n 12 ∑   − =2 h( 2 1) B 1 , (4c)   2 h+ 2 h 2 n 1 =h 1

dove B rappresenta il numero di Bernoulli di indice 2h, (n = 1, 2, 3…).

Risoluzione

Utilizzando la relazione

π−2 nu Sinh (ux ) 2∞ ∑π π∫ π− +π2 n − − +k 2 n 2 n 2 ix (1 k )[Tan( x)]du = = ( 1) ( 2 i ) (1 k ) e , Sinh (u / 2) i0 ≥k 0

e ponendo x = 0, otteniamo:

∑ − +k 2 n( 1) (1 k ) = 0, da cui:

≥k 0

   2 n 2 n∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑   − + − − −k h k hk 2 n k( 1) (1 k ) = 1+ ( 1) k = 1+ ( 1) + ( 1) k ;    h h   ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥k 0 k 1 h o k 1 h 1 k 11∑ ζ− = − − =k

Ricordiamo che:

( 1) , e , (h = 1, 2, 3,…); pertanto: ( 2 h ) 02≥k 1

 2 n1 ∑ ∑∑ − − + + − k 2 h 1k 2 n( 1) (1 k ) = ( 1) k ;  −2 h 1 2≥ ≥ ≥k 0 h 1 k 1 B

Ricordiamo che:

∑ − ζ− − − − −k 2 h 1 2 h 2 h 2 hricordiamo che: ( 1) k = ( 2 1) (1 2 h ) = , e quindi: ( 2 1)( )2 h≥k 1

 2 n B1 ∑∑  − + + − −2 hk 2 n 2 h( 1) (1 k ) = ;( 2 1)( ) −2 h 1 2 2 h≥ ≥k 0 h 1

+   2 n 2 n 11 1   = ricordando che: , troviamo:    − +2 h 1 2 h   2 h 2 n 1

 2 n1 1 ∑  − −2 h( 2 1) B = 0, da cui:   2 h+ 2 h 2 2 n 1 ≥h 1

 2 nn2 ∑   − =2 h( 2 1) B 1 (4c.1)   2 h+ 2 h