Problema di analisi complessa 1

Problemi di analisi complessa matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

Problema n. 1

Partendo dalla relazione dei complementi:

πΓ(z)Γ(1 − z) = ^π⁄_Sin(z), 0 < z < 1, (1c)

e ponendo z = ¹⁄₂ − ix, (x reale), dimostrare che:

∞∫₀ ^Sinh(ux)⁄_{Sinh(^πu⁄2)} du = ^π⁄_Tan(πx), x < ¹⁄₂.

Tan(πx) è la tangente di (πx).

Risoluzione

È nota la seguente relazione dei complementi:

πΓ(z)Γ(1 − z) = ^π⁄_Sin(z), 0 < z < 1 (1c.1)

Γ(z) = ∞∫₀ t^{z − 1}e^−t dt, essendo Γ(z), la ben nota funzione di Eulero di seconda specie.

Ponendo, nella (1c.1), z = ¹⁄₂ − ix, e prendendo il logaritmo naturale di ambo i membri della (1c.1), otteniamo:

ln Γ(¹⁄₂ − ix) + ln Γ(¹⁄₂ + ix) = ln π − ln Cos(πx) (1c.2)

Derivando, rispetto ad x, i due membri della (1c.2), ricaviamo:

Ψ(¹⁄₂ + ix) − Ψ(¹⁄₂ − ix) = ^π⁄_Tan(πx), (1c.3)

essendo Ψ(x) = Γ'(x)⁄Γ(x), e Tan(πx) rappresenta la tangente di (πx).

Ricordando che Ψ(x) = −γ + ∞∫₀ (e^−t − e^−xt)⁄(1 − e^−t) dt, essendo γ la costante di Eulero-Mascheroni, dalla (1c.3) ricaviamo:

∞∫₀ [e^{−u(x − 1⁄2)} − e^{−u(x + 1⁄2)}]⁄(1 − e^−u) du = ∞∫₀ e^−ux(e^u⁄2 − e^−u⁄2)⁄(1 − e^−u) du =

= ∞∫₀ e^−uxSinh(ux)⁄[e^−u⁄2Sinh(u⁄2)] du = 2 ∞∫₀ Sinh(ux)⁄Sinh(^πu⁄₂) du = ^π⁄_Tan(πx), (1c.4)