Primo parziale Analisi matematica 1

Analisi Matematica 1 – Prima prova parziale – 02/11/22

MATRICOLA:

COGNOME: NOME:

ESERCIZI CON SVOLGIMENTO – Si scriva lo svolgimento dei seguenti esercizi in un foglio di bella

copia (4 facciate, una facciata per esercizio) nel quale siano riportati calcoli e passaggi logici fondamentali,

con indicazione degli eventuali teoremi utilizzati. Ogni esercizio svolto correttamente vale 8 punti.

C

Esercizio n. 1 – Risolvere l’equazione in

⇣ ⌘⇣ ⌘

p

4

|z i| 2 z + 8 8 3i = 0

e rappresentarne graficamente le soluzioni.

Esercizio n. 2 – Calcolare i seguenti limiti:

✓ ◆ 3

n

3

n + 3 sin(x) log(3 x)

(a) lim , (b) lim .

2 n 2

n (n + e ) (x 2)

n!+1 +

x!2

R 0

! 2

Esercizio n. 3 – Sia f : (0, +1) una funzione derivabile, tale che f (x) > 0 per ogni x (0, +1)

e lim f (x) = +1. Per ognuna delle seguenti a↵ermazioni dire se è sempre verificata, comunque si

x!+1

scelga una funzione f con le proprietà precedenti. In caso a↵ermativo motivare adeguatamente la risposta,

in caso negativo esibire un controesempio.

sin x

1. lim = 0;

f (x)

x!+1

8" 9 8x 2 |f

2. > 0 > 0 tale che (2 , 2 + ) si ha (x) f (2)| < ";

9M 2

3. > 0 tale che f (x) > M per ogni x (0, +1);

f (x)

4. la funzione g(x) = e è monotona crescente. R

2

Esercizio n. 4 – Determinare il numero di soluzioni al variare del parametro k dell’equazione

1 + arctan(y) = k .

2y

PARTE SUI PRELIMINARI – Chi non ha partecipato o non ha superato la prova sulle conoscenze

preliminari del 05.10.22 dovrà svolgere anche il seguente esercizio in un tempo aggiuntivo di 30 minuti.

r 2

log(5 x )

Esercizio n. 5 – Determinare il campo di esistenza della funzione f (x) = .

2

x 3x + 2