Polinomio di Mac Laurin di secondo grado

Dimostrare l'esistenza implicita e calcolare il polinomio di Mac Laurin

Dimostrare che l’equazione definisce implicitamente in un intorno del punto (0; 1) una e una sola funzione di cui si chiede il polinomio di Mac Laurin di 2° grado.

ℝx 2– Posto f(x,y) = xcos(ﰀ; y) y +e, f risulta continua almeno in un intorno di (0; 1) (anzi, in tutto ℝ), risulta f(0;1) = 0 e risulta continua almeno in un intorno di (0;1); inoltre tale derivata in (0;1) è uguale a -1 (diverso da zero).

Essendo soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di esistenza e unicità in piccolo, l’equazione data definisce implicitamente una e una sola funzione y = y(x) definita in un opportuno intorno di 0 e tale che y(0) = 1; inoltre, essendo f differenziabile con continuità (almeno) due volte in un intorno di (0;1), tale risulterà anche la funzione y = y(x) in un intorno di 0.

Il polinomio di Mac Laurin richiesto è uguale a; è noto y(0), occorre calcolare y’(0), y’’(0).

Risulta: , da cui.

Derivando rispetto a x i due membri di (*), considerando y non costante ma funzione di x, si ha: sostituendo i valori di y(0) e di y’(0) sopra calcolati, si ottiene y’’(0) = 1.

Da cui, il polinomio di Mac Laurin richiesto è uguale a.

Francesco Camia