Polinomio di Taylor

Polinomio di Taylor

Def. ordine di infinitesimo

Siano f e g entrambe infinitesime in x₀.

Si dice che g è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a f (in x₀) se lim_x→x0 ^f(x)/_g(x) = 0.

In tal caso si scrive f(x) = o(g(x)).

E si legge “f(x) è un piccolo o di g(x)” (per x → x₀).

Esempio

Se x → 0 allora x³ è un infinitesimo per x → 0.

x = o(x²) cioè lim_x→0 ^x3/_x² = lim_x→0 x = 0... = 0... = 0... = 0.

Se scrivo f(x) = (x²) sostituendo che x ≠ 0 (oppure x ≠ 0⁺).

Se scrivo f(x) = o((x²)) sostituendo che x ≠ 0.

lim_x→0 ^(1-cosx)2/_x² = 0.

lim_x→0 ^{A . cosx}/_x² = lim_x→0 ^{A . cosx}/_x².

lim_x→0 ^1-cosx/_x² = lim_x→0 x = 0.

Di conseguenza (1-cosx)² = o(x²).

lim_x→0 x³ = o(x³).

lim_x→0 ^(1-cosx)2/_x³ = o(x³).

x³ = (1-cosx)² ? No!

Oss: f(x) = o(x^s) si scrive e dice se f(x) fosse un’uguaglianza ma in realtà indica una appartenenza.

Approssimazione lineare

La retta tangente approssima la funzione meglio di tutte le altre rette.

Teorema

Sia g derivabile in x₀, allora f(x) = P₁(x) + o(x-x₀) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + o(x-x₀).

P₁(x).

y = P₁(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).

Equazione della retta tangente.

Dim

Per provare che f(x) = P₁(x) + o(x-x₀).

Occorre mostrare che lim_h→0 ^{f(x₀ + h) - P₁(x₀ + h)}/_h = 0.

Poiché h = x - x₀ (e ancora x = x₀ + h).

lim_x→x0 ^{f(x₀ + h)}/_h = 0.

Polinomio di Taylor

Richiamo

f(x) _{è infinitesima in c per x-> c} se ^{lim_{x-> c} f(x) = 0}.

Def. ordine di infinitesimo

Siano f e g entrambe infinitesime in x₀.

Si dice che f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) in x0 se limx->x0 f(x) = 0.

In tal caso si scrive f(x) = o(g(x)).

E si legge f(x) è un piccolo di g(x) per x->x₀.

Esempio

Se x->0 allora x^k è un infinitesimo per k->0.

• x = o(x²) cioè ^{lim_x->0 x/x2 = 0}
• Lim_x->0 ^{A - cos(x)} = 0

Di conseguenza (1-cos(x)) = o(x³).

Oss: g(x) = o(f(x)) si scrive e cos(x) se fosse un'uguaglianza ma in realtà indica una appartenenza.

Approssimazione lineare

La retta tangente approssima la funzione meglio di tutte le altre rette.

Teorema

Se g è derivabile in x₀, allora f(x) = P₁(x) + f'(x₀) (x-x₀) + o(x-x₀).

P₁(x).

y = P₁(x) + f'(x).

Dim

Per provare che f(x) = P₁(x) + o(x-x₀).

Occorre dimostrare che lim_h->0 ^{f(x₀ + h) - P₁(x₀ + h)} = 0.

Poiché h = x-x₀ (e ancora x = x₀ + h).

lim_h->0 ^{f(x₀ + h)} = P₁(x₀ + h).

lim_h→0 [f(x₀+h) - f(x₀) + g(x₀+h)² - g(x₀)²] / h.

lim_h→0 [g(x₀+h) - 2(g(x₀) + g(x₀)g'(x₀)h] / h.

28/10/2004.

g derivabile in x₀.

g(x) = g(x₀) + g'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀).

In particolare, se g derivabile (o ≠ 0) allora g(x) = g(x₀) + g'(x₀)x.

Esempi

• f(x) = xⁿ = x₀ⁿ + nx₀ⁿx
• g(x) = (x-a)ⁿ g'(x) = h(x)(x-a)^n-1
• f_g (x) = a + (h(x))ⁿ, f_g (x₀) = a, f_g'(x₀) = α
• Per esempio, √(1+x) = a + x/2 + o(x)
• sin x = o + λ;x + o(x) = x + o(x)
• g(x) = sin x, g(0) = 0
• g'(x) = cos x, g'(x₀) = λ
• log (1+x) = β;x + o(x)
• g(x) = log (1+x), g(0) = log (ln 0) = 0
• g'(x) = 1 / 1 + x, g'(x₀) = 1
• e⁴ = λ + o(x)
• g(x) = e⁴, g(0) = λ
• g'(x) = e^x, g'(x₀) = 1
• g*sk = λ + o(x)
• g(x) = cos k, g(0) = λ
• g'(x) = -sin k, g'(x₀) = 0

Possiamo generalizzare questo procedimento Approssimando una funzione con un polinomio di grado ≥ 1?

Proposta

Se k ∈ N si pone k! . 1 . 2 . 3 ... k.

In particolare ∀ k ∈ N (k!) ∈ N.

Per definizione 0! = λ.

Notazione

∑_{k = 0}^∞ ω_k = ω₀ + ω₁ + ... ω_k.

Polinomio di Taylor con Resto di Peano

Sviluppo di Taylor di alcune funzioni elementari

1. e^x = 1 + x + ^x2⁄₂ + ^x3⁄_3! + … + ^xn⁄_n! + o(xⁿ).

g(x₀) ∫ g(o) = 1.

g'(x) ∫ g(o) = e^o.

g''(x) ∫ g(o) = e^o = 1.

g'''(x) ∫ g(o) = e^o = 1.

g⁽⁴⁾(x) ∫ g(o) = e^o = 1.

2. Sin x = x - ¹⁄_3! x³ + ¹⁄_5! x⁵ − ... ^x2n+1⁄_(2n+1)! ^(-1)nx ²ⁿ⁺¹ + o( x²ⁿ⁺²).

g(x) = Sin x.

g(o) = o.

g'(x) = cosx g(o) = ^ /.

g''(x) = −sinx g(o) = o.

g'''(x) = −cosx g(o) = Λ.

g⁽⁴⁾(x) ∫ sinx g(o) = o.

g⁽⁵⁾(x) ∫ cosx g(o) = Λ.

3. Cosx = ^ - ¹⁄_2! x² + ¹⁄_4! x⁴ − ... (−Λ)ⁿ.

g(x) = cosx g(o) = ^.

g'(x) = −sinx g(o) = o.

g''(x) ∫ −cosx g(o) = −Λ.

g'''(x) ∫ sin x g(o) = o.

g⁽⁴⁾(x) = cosx g(o) = Λ.

4. Log (Λ+×) − ^x⁄₂ X² = ^Λ⁄₃ x³ ∫ ¹⁄₄ μ^{4 (−1)n−1 xm}.

g(x) = log (Λ+×) g(o) = o.

g(o) = Λ.

g'(x) = ^Λ⁄_Λ+x.

g(x) ∫ g(o) = −Λ.

g''(x) = − ^u⁄_(Λ+x)².

g''(o) = −Λ.

g⁽³⁾(x) = o [(Λ+x)²] ∫ o(x)(Λ+x)³ = 2 (Λ+x)³.

g⁽³⁾(o) = 2.

g⁽³⁾(o) = ²⁄₃ = ^Λ⁄₃.

g⁽⁴⁾(x) = −2.3 (Λ+x)⁴.

g⁽⁰⁾ = −2.3.

g⁽⁵⁾(o) = ^−2.3⁄_2×3×4 = −Λ⁄₄.

5.(λ₁ + x)ⁿ = λ₁ + α₁ x +_(α₁)(α₁ - 1) / 2 x² +_{(α₁)(α₁ - 1)(α₁ - 2)} / 3! x³_{(α₁)(α₁ - 1)...(α₁ - n + 1)} / n! xⁿ → o(xⁿ)∫(x) - ∫(λ, x)ⁿ → ∫(o(x)) = λ∫(x) - α ∫(x, xⁿ) → ∫(o(x, x)) = α