Forme differenziali 2

Verificare l’esattezza della forma differenziale

Verificare che la forma differenziale ω = (e^x − ye^xy)dx + (xe^xy − e^y)dy è esatta, e determinare l’integrale ∫_C ω con C curva che connette l’origine con il punto (1, 0).

Soluzione

La forma data è definita su tutto il piano, che è un insieme stellato; ne segue soluzione che basta verificare la chiusura per verificare l’esattezza; si ha

∂/∂y (e^x − ye^xy) = e^xy − e^xy,

∂/∂x (xe^xy − e^y) = e^xy − e^xy.

Dunque la forma data è esatta; a titolo di esercizio troviamo comunque una primitiva. Seguendo lo stesso procedimento considerato nell’esercizio (1), andiamo a calcolare

∫ (e^x − ye^xy) dx = xe^xy − ye^y + c(y) =: z(x, y);

deve poi essere ∂z/∂y (x, y) = xe^xy − e^y.

Quindi deve essere c′(y) = 0; basta quindi prendere, come primitiva z(x, y) = xe^xy − ye^y.

Immediatamente si ha ∫_C ω = z(1, 0) − z(0, 0) = 1.

Verifica dell’integrale lungo una curva

Verifichiamo ora, cosa non necessaria ai fini dello svolgimento dell’esercizio, che effettivamente l’integrale vale 1 calcolato lungo una curva qualunque che connette i punti dati. Scegliamo la curva che connette (0, 0) con (1, 0) che giace sull’asse x. Dunque c(t) = (t, 0) è la sua più semplice rappresentazione parametrica (con t ∈ (0, 1)). Si ha c′(t) = (1, 0) e quindi

∫_C ω = ∫¹₀ u(c(t))c′₁(t) + v(c(t))c′₂(t)dt = ∫¹₀ dt = 1.