Forma differenziale esatta 1

Verifica dell'esattezza della forma differenziale

Verificare che la forma differenziale ω = (3x − 4y)/√(x − y) dx + (−5x + 6y)/√(x − y) dy è esatta, e calcolare ∫_C ω, dove C è una curva in R², che ha per estremi i punti (0, 0) ed (x₀, y₀).

Osserviamo che la forma data è definita su un insieme stellato: {(x, y) ∈ R² : x > y}.

Soluzione

La forma risulta chiusa, in quanto si ha:

∂/∂y (3x − 4y)/√(x − y) = (4y − 5x)/(2(x − y)√(x − y)),

∂/∂x (−5x + 6y)/√(x − y) = (4y − 5x)/(2(x − y)√(x − y)),

quindi è esatta.

Cerchiamo una funzione z(x, y) tale che:

∂z/∂x = (3x − 4y)/√(x − y).

Ovvero, integrando rispetto ad x, si ha, ponendo x − y = t:

∫ (3x − 4y)/√(x − y) dx = ∫ (3t − y)/√t dt = 2t^3/2 − 2y√t + c(y).

Risostituendo, si ottiene:

∫ (3x − 4y)/√(x − y) dx = 2(x − y)^3/2 − 2y√(x − y) + c(y).

Ora, derivando z(x, y) rispetto ad y si ottiene:

∂z/∂y = (−5x + 6y)/√(x − y) + c'(y),

che deve eguagliare il secondo termine della forma data; dunque c'(y) = 0 ⇒ c(y) = k.

Potendo scegliere k = 0, si ha che una primitiva della forma ω è data da z(x, y) = 2(x − y)^3/2 − 2y√(x − y).

Ne segue che:

∫_C ω = z(x₀, y₀) − z(0, 0) = 2(x₀ − y₀)^3/2 − 2y₀√(x₀ − y₀).